smooth functions

[CharlieEppes]

Let $i_1 : N_1 \rightarrow M_1$ and $i_2 : N_2 \rightarrow M_2$ be smooth imbeddings and let $f : N_1 \rightarrow N_2$ and
$g : M_1 \rightarrow M_2$ be continuous maps such that $i_2 f = g i_1$ (i.e., the diagram

$ $ [tex]N_1 \overset{f}{\longrightarrow} N_2[/tex]
[tex]i_1 \downarrow \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \downarrow i_2[/tex]
$ $ [tex]M_1 \overset{g}{\longrightarrow} M_2[/tex]

commutes). Show that if g is smooth, then f is smooth.

Kan man her utnytte at $i_2$ er diffeomorf til bilde sitt i $M_2$ og at $i_2 f = g i_1$.
dermed er
$i_{2}^{-1} \circ i_2 \circ f (N_1) = i_{2}^{-1} \circ g \circ i_1 (N_1)$
$f (N_1) = i_{2}^{-1} \circ g \circ i_1 (N_1)$, dette er smooth/glatt siden det er en komposisjon av glatte avbildninger. ?

Er det noe som kan gå gale her med denne tanken? (ja vet at selve føringen over ikke er helt rett, men ideen kommer frem)
Er det en annen måte dere ville gjort dette på?
Dette er gitt som en viktig oppgave i kurset, så føler det er greit å ha orden på det

[Gustav]

Tankegangen ser rett ut den! Det du kanskje bør begrunne er at det ikke fins en $x\in N_1$ slik at $g(i_1(x))\not\in i_2(N_2)$, men det følger jo egentlig direkte fra kommutativiteten til diagrammet.. ($g \circ i_1 (N_1)$ bør jo være inneholdt i domenet til $i_2^{-1}$, ellers vil jo ikke komposisjonen $i_2^{-1}\circ g \circ i_1 $ være definert på hele $N_1$)

[CharlieEppes]

Var det jeg også tenkte, siden vi har at $i_2 f = g i_1$ så må de vell treffe alle de samme punktene

[Gustav]

Var det jeg også tenkte, siden vi har at $i_2 f = g i_1$ så må de vell treffe alle de samme punktene

Nettopp, vi kan skrive det slik: For enhver $x\in N_1$ vil $(g\circ i_1) (x) = (i_2\circ f) (x)= i_2 ( f(x)) \in i_2 (N_2)$