kontinuerlig funk. mellom produkt rom.

[CharlieEppes]

https://proofwiki.org/wiki/Function_to_ ... Continuous

I linken over er det et bevis for: Function to Product Space is Continuous iff Composition with Projections are Continuous.

Når han i "del 2" av beviset, lar U = (snittet av invers bilder), hvordan vet vi at disse ikke er tomme, eller har ikke det noe å si for beviset?
sliter litt med å forstå akkurat den delen.

[Gustav]

Når han i "del 2" av beviset, lar U = (snittet av invers bilder), hvordan vet vi at disse ikke er tomme, eller har ikke det noe å si for beviset?

Husk at $\emptyset$ er med i enhver topologi (altså er $\emptyset$ åpen), så det har ingen betydning om $U$ er tom eller ikke.

Ideen i del 2 ($\Leftarrow$) av beviset er å vise at $f^{-1}(U)$ er åpen for alle åpne mengder $U$ i en basis for produkttopologien. Da vil automatisk $f ^{-1}(V)$ være åpen for generelle åpne mengder $V$, siden $V$ kan uttrykkes som en union av åpne mengder fra basisen. Basisen til produkttopologien består i tillegg av alle endelige snitt av mengder på formen $pr_i^{-1}(U_i)$, så en generell åpen mengde i basisen til produkttopologien kan skrives som $U=\bigcap_{j=1}^n pr_{i_j}^{-1}(U_{i_j})$ der $U_{i_j}$ er en åpen mengde i $Y_{i_j}$. Nå er det to måter $U$ kan bli tom på, enten ved at $U_{i_j}$ er tom for en $j$, eller at to av $i_j$-ene er like samtidig som de to tilhørende $U_{i_j}$-ene er disjunkte. Men som sagt har det ingen betydning for beviset, da all teori fra mengdelæren som brukes uansett gjelder, samt at den tomme mengden alltid er åpen.

[CharlieEppes]

Når han i "del 2" av beviset, lar U = (snittet av invers bilder), hvordan vet vi at disse ikke er tomme, eller har ikke det noe å si for beviset?

Husk at $\emptyset$ er med i enhver topologi (altså er $\emptyset$ åpen), så det har ingen betydning om $U$ er tom eller ikke.

Ideen i del 2 ($\Leftarrow$) av beviset er å vise at $f^{-1}(U)$ er åpen for alle åpne mengder $U$ i en basis for produkttopologien. Da vil automatisk $f ^{-1}(V)$ være åpen for generelle åpne mengder $V$, siden $V$ kan uttrykkes som en union av åpne mengder fra basisen. Basisen til produkttopologien består i tillegg av alle endelige snitt av mengder på formen $pr_i^{-1}(U_i)$, så en generell åpen mengde i basisen til produkttopologien kan skrives som $U=\bigcap_{j=1}^n pr_{i_j}^{-1}(U_{i_j})$ der $U_{i_j}$ er en åpen mengde i $Y_{i_j}$. Nå er det to måter $U$ kan bli tom på, enten ved at $U_{i_j}$ er tom for en $j$, eller at to av $i_j$-ene er like samtidig som de to tilhørende $U_{i_j}$-ene er disjunkte. Men som sagt har det ingen betydning for beviset, da all teori fra mengdelæren som brukes uansett gjelder, samt at den tomme mengden alltid er åpen.

Takk for svar, det ga mye mer mening nå litt usikker på om jeg forstod hvordan en tom basis kan fullføre beviset, men ellers ser det greit ut.

EDIT:
Vil det si at alle åpne mengder i produkttopologien er den tomme mengden? siden det jeg har fått med meg av baser, så skal en union av de dekke alle åpne mengder i topologien. Det som crasher i mitt hode er at jeg mener å ha hørt at hele mengden også er åpen/og lukket.
og dermed må hele produkt rommet være tomt?

er dette jeg sliter med å få hodet mitt rundt... :/

[Gustav]

SIkker på at du har forstått 100% hva en basis er ?

En basis for en topologi er en familie med åpne (del)mengder som genererer topologien i den forstand at enhver åpen mengde i topologien kan skrives som en union av mengder fra basisen. Så basisen er ikke tom. (Hvis basisen er tom er også topologien tom, og da må den mengden vi starter med også være tom, siden hele mengden alltid er med i topologien)

Hvis f.eks. $S$ er den mengden du starter med, $\tau$ er en gitt topologi på $S$, altså en familie av delmengder (som kalles åpne) av $S$ som oppfyller kravene til en topologi, og $B$ er en basis for $\tau$, så betyr det at hvis $U\in\tau$ er en vilkårlig åpen mengde, så fins det elementer(åpne delmengder av $S$) $V_i\in B$ slik at $U=\bigcup_i V_i$.

En underbasis er en familie av åpne delmengder slik at enhver åpen mengde i topologien kan skrives som unionen av endelige snitt av delmengder fra underbasisen.

I tilfellet produkttopologi så er $\{pr_i^{-1}(U_i)\}$ en underbasis for produkttopologien ( her er $U_i$ åpne mengder i $Y_i$ , der $Y=Y_1\times Y_2...$), så en generell åpen mengde i produkttopologien er en union av endelige snitt av mengder fra $\{pr_i^{-1}(U_i)\}$, altså på formen $\bigcup \bigcap pr_i^{-1}(U_i)$, der snittet er endelig, mens unionen er vilkårlig (ikke nødvendigvis endelig)

[CharlieEppes]

100% sikker på at jeg ikke har forstått hva en basis er.
Leser kjapt igjennom en del punkt mengde topologi som foreleseren sa var nyttig for mangfoldighet kurset jeg tar. Merker at jeg altfor ofte ser tenker på baser i topologi som basis elementer i et vektor rom, der du gjerne har endelig mange som genererer hele rommet. Men jeg tror jeg forstod det mye bedre på måten du forklarte det!

EDIT:
så basen i dette tilfellet består av alle kobinasjoner av $pr_{x}^{-1}(U_{x}) \cap pr_{y}^{-1}(U_{y})$ der $U_{x}$ og $U_{y}$ er alle åpne mengder i $X$ og $Y$?
også videre så blir det vist at enhver vilkårlig slik medlem av basen er åpen i $Z$, og derfor er alle åpne mengder i $X$ x $Y$ er åpen i $Z$ siden en tilfeldig åpen mengde $V$ i $X$x$Y$ kan skrives som en union av elementene i den definerte basen?
høres det rett ut?

[Gustav]

så basen i dette tilfellet består av alle kobinasjoner av $pr_{x}^{-1}(U_{x}) \cap pr_{y}^{-1}(U_{y})$ der $U_{x}$ og $U_{y}$ er alle åpne mengder i $X$ og $Y$?
også videre så blir det vist at enhver vilkårlig slik medlem av basen er åpen i $Z$, og derfor er alle åpne mengder i $X$ x $Y$ er åpen i $Z$ siden en tilfeldig åpen mengde $V$ i $X$x$Y$ kan skrives som en union av elementene i den definerte basen?
høres det rett ut?

Ja, det høres rett ut i tilfelle $Z=X\times Y$. Du kan jo lett generalisere til vilkårlig indeksert kartesisk produkt av mengder. Da kommer endeligheten av snitt mer inn.

[CharlieEppes]

Hehe, glemte at jeg hadde litt annen notasjon i mine notater men ja, var noe sånt jeg mente
Takk så mye for hjelpen

[Gustav]

Hvis du lurer på hvorfor det er snakk om at snittet må være endelig, så har det å gjøre med at uendelige snitt av åpne mengder ikke nødvendigvis er åpent. Tenkt f.eks. på reell analyse: $\bigcap _{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n})=[0,1]$ som er lukket i $\mathbb{R}$. En basis for standardtopologien på $\mathbb{R}$ består for øvrig av mengden av alle åpne intervall $(a,b)$, hvis du vil ha et konkret eksempel på en basis.

[CharlieEppes]

Hvis du lurer på hvorfor det er snakk om at snittet må være endelig, så har det å gjøre med at uendelige snitt av åpne mengder ikke nødvendigvis er åpent. Tenkt f.eks. på reell analyse: $\bigcap _{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n})=[0,1]$ som er lukket i $\mathbb{R}$. En basis for standardtopologien på $\mathbb{R}$ består for øvrig av mengden av alle åpne intervall $(a,b)$, hvis du vil ha et konkret eksempel på en basis.

Det var smart, tenkte ikke over dette med endelig snitt. Men vi det si at denne situasjonen ikke holder $Y = Y_1 \times Y_2 \times Y_3 \times ... $ siden vi ikke vet om snittet er åpent eller lukket?

[Gustav]

Joda, det går fint med et vilkårlig indeksert (mulig utellbart) kartesisk produkt av topologiske rom, men det jeg siktet til er basisen for produkttopologien, som må bestå av endelige snitt av $pr_i^{-1}(U_i)$. Hvis vi ikke begrenser til endelige snitt, er det mulig å konstruere mengder som ikke lenger er åpne, litt på samme måte om i eksemplet i mitt forrige innlegg med uendelig snitt av åpne mengder som er lukket.

Eksempel: La $X=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$.

Betrakt $\bigcap_{n=1}^{\infty} pr_1^{-1}((-\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n}))= \bigcap_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n})\times \mathbb{R}=[0,1]\times \mathbb{R}$. Problemet her er at [0,1] ikke er åpent. Begrenser vi til endelig snitt, så garanterer dette at vi ender opp med noe som også er åpent.

[CharlieEppes]

okei jeg skal vise
$Z \rightarrow X \times Y \text{ Continuous} \Leftrightarrow$ $\begin{cases} & Z \rightarrow X \times Y \rightarrow X \text{ Continuous } \\ & Z \rightarrow X \times Y \rightarrow Y \text{ Continuous } \end{cases}$

Har vist $\Rightarrow$ retningen.
Men er ikke sikker på om jeg forstod den andre retningen helt, men her er hva jeg har gjort:
$\Leftarrow$
Suppose each $(Pr_{x} \circ f)$ and $(Pr_{y} \circ f)$ are continuous;
Let $U = Pr_{i_{1}}^{-1} (U_{i_{1}}) \cap ... \cap Pr_{i_{n}}^{-1} (U_{i_{n}})$, where $i=X$ or $i=Y$
be an open set in the natural basis of $X \times Y$.

By preimage of intersection under mapping
$f^{-1} (U) = f^{-1}( Pr_{i_{1}}^{-1} (U_{i_{1}})) \ \cap \ ... \ \cap \ f^{-1}(Pr_{i_{n}}^{-1} (U_{i_{n}}))$;
Now since each $(Pr_{x} \circ f)$ and $(Pr_{y} \circ f)$ are continuous;
$(Pr_{i} \circ f)^{-1} (U_{i_j}) = f^{-1}(Pr_{i_{j}}^{-1} (U_{i_j}))$
is open;
f^{-1}(U) is open.

By the definition of basis, each open set in $X \times Y$ can be written as a union of sets in the basis of the product topology.
By preimage of union under mapping, each preimage of open sets in $X \times Y$ are open in Z.

Vet at det er noe som skurrer rundt disse snittene, men klarer ikke finne ut hva/ eller hvordan jeg skal formulere det annerledes :/

[Gustav]

Suppose each $(Pr_{x} \circ f)$ and $(Pr_{y} \circ f)$ are continuous;
Let $U = Pr_{i_{1}}^{-1} (U_{i_{1}}) \cap ... \cap Pr_{i_{n}}^{-1} (U_{i_{n}})$, where $i=X$ or $i=Y$
be an open set in the natural basis of $X \times Y$.

Beviset ditt er jo så og si identisk med det du linket til i starten.

Du kan forenkle det ved å skrive at

Let $U = Pr_{X}^{-1} (U_{X}) \cap Pr_{Y}^{-1} (U_{Y})$, (where $U_X$ is open in $X$, $U_Y$ open in $Y$. )
be an open set in the natural basis of $X \times Y$.

(Dette blir uansett ekvivalent med det du selv skrev. Sjekk hvorfor!)

(Husk også at $X$ og $Y$ er utstyrt med hver sin topologi, så eksplisitt kunne/burde vi skrevet $(X,\tau_X)$ og $(Y,\tau_Y)$ for de respektive topologiske rommene som utgjør produktrommet $(X\times Y, \tau_{X\times Y})$ hvor $\tau_{X \times Y}$ er definert som produkttopologien hvis underbasis er (dog er slike (under)basiser ikke nødvendigvis unike) $\{pr_i^{-1}(U_i)\}_{i\in \{X,Y\}}$ hvor $U_X\in\tau_X$ og $U_Y\in\tau_Y$. (Bare for å stave ut alt helt eksplisitt for ordens skyld) )

[CharlieEppes]

uff, blir små-frustrert her. Føler jeg forstår det når jeg leser hva du skriver, men når jeg skal bruke det selv så blir det bare rot og uenighet med meg selv.

EDIT:
Tror det jeg sliter mest med å forstå er hvordan dette snittet danner en basis for produkt topologien $\upsilon \times \nu$. Men her er hvertfall måten jeg forklarer
meg selv at det må være slik::

Definition: If $(X,\upsilon)$ and $(Y,\nu)$ are two topological spaces, then their product $(X \times Y , \upsilon \times \nu)$ is the set $X \times Y = \{(x,y)|x ∈ X,y ∈ Y \}$ with a basis for the topology given by products of open sets $U \times V$ with $U \in \upsilon$ and $V ∈ \nu$.

Basen som er definert her, er det den naturlige basen for produkt topologien?
og alle snittene på formen $ S = Pr_{x}^{-1}(U_x) \cap Pr_{y}^{-1}(V_y)$ er i basen til den topologien siden de er på formen
$(U_x , Y) \cap (X , V_y) = (U_x , V_y) \subseteq (\upsilon , \nu)$, og snittet er åpent;(på grunn av endelige snitt av åpne mengder er åpne?)

[Gustav]

Det stemmer det du sier ja, men det virker nesten som det er noen småting som forvirrer deg. Ikke så lett for meg å vite hva det er som ikke er helt klart, .

Den definisjonen din er egentlig den som gjelder for bokstopologien, (box topology), men bokstopologien er ekvivalent med produkttopologien for endelige kartesiske produkt av topologiske rom. Så i tilfellet ditt, der $Z=X\times Y$, så kan du gjerne bruke den definisjonen.

Har du sett på definisjonen av produktrom her? https://en.wikipedia.org/wiki/Product_topology

Du kan ta det som en definisjon på produkttopologien at det er den topologien som er generert av $\{pr_i^{-1}(U_i)\}$. Det betyr bare at enhver åpen mengde er en union av endelige antall snitt av elementer i mengden $\{pr_i^{-1}(U_i)\}$

Edit: Dette her er jo bare en definisjon, så du trenger jo ikke bevise dette. Det er bare sånn det er definert.

[CharlieEppes]

Det stemmer det du sier ja, men det virker nesten som det er noen småting som forvirrer deg. Ikke så lett for meg å vite hva det er som ikke er helt klart, .

Den definisjonen din er egentlig den som gjelder for bokstopologien, (box topology), men bokstopologien er ekvivalent med produkttopologien for endelige kartesiske produkt av topologiske rom. Så i tilfellet ditt, der $Z=X\times Y$, så kan du gjerne bruke den definisjonen.

Har du sett på definisjonen av produktrom her? https://en.wikipedia.org/wiki/Product_topology

Du kan ta det som en definisjon på produkttopologien at det er den topologien som er generert av $\{pr_i^{-1}(U_i)\}$. Det betyr bare at enhver åpen mengde er en union av endelige antall snitt av elementer i mengden $\{pr_i^{-1}(U_i)\}$

Ja er nok noen småting her og der som forvirrer. Men er vell å forvente gitt at jeg leste meg opp på dette i løpet av forrige uke
Regner med at svarene kommer etterhvert som jeg får jobbet litt med det, og gir det tid til å modnes

Takker hvertfall for alt hjelp med denne oppgaven, hadde fullt kaos i føringen uten hjelp
PS. kommer nok mange fler tråder om topologi/mangfoldigheter etterhvert