Topologi

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Innlegg: 141
Registrert: 01/10-2014 17:26

Hei, leser kjapt igjennom en oppsummering av den topologien som blir brukt i mangfoldigheter. Da dukket dette lemma opp;

Lemma 10.1.5 Let (X, T ) be a topological space. Prove that a subset U ⊆ X is open if
and only if for all p ∈ U there is an open set V such that p ∈ V ⊆ U.
Proof: Exercise!

er litt usikker på hvordan man viser dette. Kan huske å ha gjort noe lignende bevis i et reell analyse emne tidligere, men det var for metriske rom og tror ikke samme beviset gjelder her;

Noen pointers hadde vært kjekt;
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Det er ikke gitt at rommet har en metrikk, så beviset går helt utenom metriske rom.

Den ene veien $(\Rightarrow )$ er triviell.

$\Leftarrow $: La $V_p$ være den åpne mengden som inneholder p, og som er inneholdt i U.

Betrakt unionen $\bigcup_p V_p$
CharlieEppes
Cantor
Cantor
Innlegg: 141
Registrert: 01/10-2014 17:26

plutarco skrev:
Den ene veien $(\Rightarrow )$ er triviell.
Du mener da at siden $U \subseteq U$ vil jeg tro?
plutarco skrev: $\Leftarrow $: La $V_p$ være den åpne mengden som inneholder p, og som er inneholdt i U.
Betrakt unionen $\bigcup_p V_p$
Nå skal jeg stille verdens dummeste spørsmål! :mrgreen: men bare føler for å få det bekreftet
Er da man sikker på at $\bigcup_p V_p$ er hele $U$ siden unionen av alle {p} er $U$ og $V_p \subseteq U$ ?
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results." -Albert Einstein
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

CharlieEppes skrev:
plutarco skrev:
Den ene veien $(\Rightarrow )$ er triviell.
Du mener da at siden $U \subseteq U$ vil jeg tro?
Ja, så bare velg V=U.
plutarco skrev: $\Leftarrow $: La $V_p$ være den åpne mengden som inneholder p, og som er inneholdt i U.
Betrakt unionen $\bigcup_p V_p$
Nå skal jeg stille verdens dummeste spørsmål! :mrgreen: men bare føler for å få det bekreftet
Er da man sikker på at $\bigcup_p V_p$ er hele $U$ siden unionen av alle {p} er $U$ og $V_p \subseteq U$ ?
Det er ikke vanskelig å bevise at $\bigcup_p V_p=U$, som gjøres ved å vise både $\bigcup_p V_p\subseteq U$ og $\bigcup_p V_p\supseteq U$.

For den første: La $q\in \bigcup_p V_p$. Da fins en $p$ slik at $q\in V_p\subseteq U$.

For den andre: La $q\in U$. Da er $q\in V_q\subseteq \bigcup_p V_p$, siden unionen går over alle elementer i U.

Dermed er $\bigcup_p V_p=U$.

Fra definisjonen av en topologi, er enhver union av åpne mengder åpen, dermed er U åpen som unionen av åpne mengder $V_p$.
Svar