Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Let $A = \mathbb{Z}$ and $M$ the module $\mathbb{Z}/(12)$. Show that the localization $M_{(5)} = 0$.
Klarer ikke vise at den må være $= 0$, kommer frem til at den må være $= \empty$, men det er jo ikke riktig.
kan noen gi noen "pointers"?
EDIT:
$M_{(5)}=\{ \frac{m}{s} : m \in M , s \in S \}$ , er $S = M \setminus (5)$ eller $S = A \setminus (5)$ eller noe helt annet igjen?
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results."-Albert Einstein
Hm, jeg er enig med deg her. (5) vil jo være lik $\mathbb{Z}/(12)$ her, siden $gcd(5,12)=1$, så jeg klarer ikke å skjønne at $M_{(5)}$ kan ha noen som helst elementer. Nå er jo ikke 0 noen mengde heller, så fasiten gir ikke noen mening etter hva jeg kan skjønne.
Edit: Kan jo være at noen har definert lokaliseringen som 0 dersom den ikke inneholder noen elementer ?
plutarco skrev:Hm, jeg er enig med deg her. (5) vil jo være lik $\mathbb{Z}/(12)$ her, siden $gcd(5,12)=1$, så jeg klarer ikke å skjønne at $M_{(5)}$ kan ha noen som helst elementer. Nå er jo ikke 0 noen mengde heller, så fasiten gir ikke noen mening etter hva jeg kan skjønne.
Edit: Kan jo være at noen har definert lokaliseringen som 0 dersom den ikke inneholder noen elementer ?
Var det jeg også tenkte, men fant ikke noe spesielle proposisjoner/definisjoner eller teorem som sier noe slik i boken, hvertfall som jeg ser.
prøvde å vise at alle elementene i $M_{(5)}$ måtte være null, men det fikk jeg heller ikke til på noen måte.
her er en lik oppgave
Let $A = k[x]$ and $M = k[x]/(x − 1)$. Show that the localization $M_{(x)} = 0$.
ble litt i stuss her også..
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results."-Albert Einstein
Ah, måtte se litt mer nøye på definisjonene, og ser nå at i ditt første spørsmål så er vel $M_{(5)} = \{\frac{m}{s}: m\in \mathbb{Z}/(12), s\in \mathbb{Z}\setminus (5)\}$.
Hvis du kan vise at alle elementene i $M_{(5)}$ er ekvivalente, så blir det vel riktig.
Edit: Du har vel også et lemma som kan brukes her: (Et problem fra Atiyah)
"Let S be a multiplicatively closed subset of a ring A and M a finitely generated A - module. Prove that $S^{−1}M=0$ iff there exists s∈S such that sM=0."
Siden $12M=0$ og $12\in S=\mathbb{Z}\setminus (5)$ så følger det du vil vise.
ÅÅ den var jo grei, men ser ikke helt hvordan man skal vise til det..
Edit: så det nå, er jo ganske trivielt siden vi snakker om $\mathbb{Z}$
siden: $\frac{m}{s} = \frac{n}{t}$ og $m,n \in M$, $s,t \in S$
dersom $u(mt - ns)=0$ for $u \in S$
og $u = 12 \implies (12*m)t - (12*n)s = 0 \implies \mu_{12}(m)t - \mu_{12}(n)s = 0$ ,
$\mu_{12} : M \rightarrow M$ gitt av $\alpha \mapsto \alpha * 12 \equiv_{12} 0$
da har vi $(0)t - (0)s = 0$
Sist redigert av CharlieEppes den 30/11-2016 21:00, redigert 2 ganger totalt.
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results."-Albert Einstein
CharlieEppes skrev:ÅÅ den var jo grei, men ser ikke helt hvordan man skal vise til det..
(m,s) og (n,t) er ekvivalente dersom det fins en $u\in S$ slik at $u(sn-tm)=0$. Velg $u=12\in S$ så er jo dette opplagt, så alle elementer i $M_{(5)}$ er ekvivalente, og dermed er $M_{(5)}=0$
Blir vell akkurat samme for $k[x]$ tilfellet.
setter u = (x-1) slik at $\mu_{(x-1)} : M \rightarrow M$ gitt ved $m \mapsto 0 \mod (x-1)$
Ja, nettopp.
Første svaret mitt var feil fordi jeg tenkte at S var delmengde av $\mathbb{Z}/(12)$, men siden det er snakk om lokalisering av en A-modul, så er jo selvsagt S en delmengde av ringen A.
Blir vell akkurat samme for $k[x]$ tilfellet.
setter u = (x-1) slik at $\mu_{(x-1)} : M \rightarrow M$ gitt ved $m \mapsto 0 \mod (x-1)$
Ja, nettopp.
Første svaret mitt var feil fordi jeg tenkte at S var delmengde av $\mathbb{Z}/(12)$, men siden det er snakk om lokalisering av en A-modul, så er jo selvsagt S en delmengde av ringen A.
Ja var dette jeg stusset veldig på i starten også, for jeg leste bare at $S \subset A$, og tenkte da også at det var $S \subset M \subset A$ men det er jo selvfølgelig ikke gitt.
"Insanity; doing the same thing over and over again, and expecting different results."-Albert Einstein
Det hele fremgår klart fra definisjonen i Reid på side 89 egentlig. Hadde S vært delmengde av M så hadde jo heller ikke definisjonen av ekvivalente elementer gitt noen mening, siden vi i en A-modul bare har lov til å multiplisere med elementer fra ringen A, og ikke med elementer fra den abelske gruppa(unntatt når det er en modul over seg selv).
