Sliter med en oppgave som ble gitt i en tidligere eksamen, og den lyder slik;
"Hvilken minste grad [tex]N[/tex] må Taylorpolynomet [tex]P_{n}(x)[/tex] i [tex]x=0[/tex] til funksjonen [tex]f(x)=e^{-x}[/tex] ha for at det ikke skal fravike mer enn [tex]\frac{1}{2}[/tex] fra [tex]f(x)[/tex] når [tex]x\epsilon[0,1][/tex]?"
Fasiten går ikke i detalj, men dette gjør han;
Han bruker restleddet; $|R_n(x)|=|\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}|=\frac{e^{-c}}{(n+1)!}|x|^{n+1}$
Hvis $x\in [0,1]$ så vil $\frac{e^{-c}}{(n+1)!}|x|^{n+1}\leq \frac{1}{(n+1)!}$.
Dvs; n=1
Ser ikke helt hvordan $x\in [0,1]$ fører til at [tex]\frac{1}{(n+1)!}[/tex]
Noen som kunne ha forklart?
Restledd
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Tesla
Gjest skrev:Sliter med en oppgave som ble gitt i en tidligere eksamen, og den lyder slik;
"Hvilken minste grad [tex]N[/tex] må Taylorpolynomet [tex]P_{n}(x)[/tex] i [tex]x=0[/tex] til funksjonen [tex]f(x)=e^{-x}[/tex] ha for at det ikke skal fravike mer enn [tex]\frac{1}{2}[/tex] fra [tex]f(x)[/tex] når [tex]x\epsilon[0,1][/tex]?"
Fasiten går ikke i detalj, men dette gjør han;
Han bruker restleddet; $|R_n(x)|=|\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}|=\frac{e^{-c}}{(n+1)!}|x|^{n+1}$
Hvis $x\in [0,1]$ så vil $\frac{e^{-c}}{(n+1)!}|x|^{n+1}\leq \frac{1}{(n+1)!}$.
Dvs; n=1
Ser ikke helt hvordan $x\in [0,1]$ fører til at [tex]\frac{1}{(n+1)!}[/tex]
Noen som kunne ha forklart?
Du må finne en øvre grense for feilen (feilen kan ikek være mer enn dette). Da må du se på uttrykket ditt og gjøre det så sort som mulig. exp(-c) er avtagende på c i [0,1], altså blir den så stor som mulig dersom du velger c=0.
-
Gjest
Tesla skrev:Gjest skrev:Sliter med en oppgave som ble gitt i en tidligere eksamen, og den lyder slik;
"Hvilken minste grad [tex]N[/tex] må Taylorpolynomet [tex]P_{n}(x)[/tex] i [tex]x=0[/tex] til funksjonen [tex]f(x)=e^{-x}[/tex] ha for at det ikke skal fravike mer enn [tex]\frac{1}{2}[/tex] fra [tex]f(x)[/tex] når [tex]x\epsilon[0,1][/tex]?"
Fasiten går ikke i detalj, men dette gjør han;
Han bruker restleddet; $|R_n(x)|=|\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}|=\frac{e^{-c}}{(n+1)!}|x|^{n+1}$
Hvis $x\in [0,1]$ så vil $\frac{e^{-c}}{(n+1)!}|x|^{n+1}\leq \frac{1}{(n+1)!}$.
Dvs; n=1
Ser ikke helt hvordan $x\in [0,1]$ fører til at [tex]\frac{1}{(n+1)!}[/tex]
Noen som kunne ha forklart?
Du må finne en øvre grense for feilen (feilen kan ikek være mer enn dette). Da må du se på uttrykket ditt og gjøre det så sort som mulig. exp(-c) er avtagende på c i [0,1], altså blir den så stor som mulig dersom du velger c=0.
Hva om funksjonen heller var [tex]f(x)=e^x[/tex] og ikke [tex]f(x)=e^{-x}[/tex]? Da ville vel den bli så stor som mulig om vi velger c=1?
Om jeg forsto riktig; Vi skal velge en øvre grense der C er mellom 0 og 1, og kjøre derfra? Takk for hjelpen
-
Tesla
Det er riktig. og c er alltid på samme intervall som x, det vil si intervallet du tilnærmer over (trenger ikke være 0 til 1)Gjest skrev:
Hva om funksjonen heller var [tex]f(x)=e^x[/tex] og ikke [tex]f(x)=e^{-x}[/tex]? Da ville vel den bli så stor som mulig om vi velger c=1?
Om jeg forsto riktig; Vi skal velge en øvre grense der C er mellom 0 og 1, og kjøre derfra? Takk for hjelpen