vis integral over Z - heltall
Lagt inn: 26/11-2016 13:35
Show that [tex]\tau = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C}[/tex]
is integral over $\mathbb{Z}$. Is $\frac{\sqrt{3}}{2}$ integral over $\mathbb{Z}$?
for at $\tau$ skal være integral over $\mathbb{Z}$ så må vi ha at:
for et monisk polynom;
[tex]f(Y) \in \mathbb{Z}[Y], f(Y) = Y^n + a_{n-1}Y^{n-1} + ... + a_{0}[/tex]
så er
[tex]f(\tau) = 0[/tex].
Var ikke helt sikker på om det finnes en bedre/lettere måte, men jeg prøvde først med det første polynomet her,
også så jeg jo fort at det neste måtte være slik:
$\tau^2 - \tau = -1 \implies \tau^2 -\tau + 1 = 0$
neste:
[tex]\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies f(\alpha) = \alpha^2 - \alpha = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 2)}{4} \notin \mathbb{Z}[/tex]
Men er dette nok til å si at det ikke finnes noe polynom $f \in \mathbb{Z}[Y]$ som gir $f(\alpha ) = 0$ ?
is integral over $\mathbb{Z}$. Is $\frac{\sqrt{3}}{2}$ integral over $\mathbb{Z}$?
for at $\tau$ skal være integral over $\mathbb{Z}$ så må vi ha at:
for et monisk polynom;
[tex]f(Y) \in \mathbb{Z}[Y], f(Y) = Y^n + a_{n-1}Y^{n-1} + ... + a_{0}[/tex]
så er
[tex]f(\tau) = 0[/tex].
Var ikke helt sikker på om det finnes en bedre/lettere måte, men jeg prøvde først med det første polynomet her,
også så jeg jo fort at det neste måtte være slik:
$\tau^2 - \tau = -1 \implies \tau^2 -\tau + 1 = 0$
neste:
[tex]\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies f(\alpha) = \alpha^2 - \alpha = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 2)}{4} \notin \mathbb{Z}[/tex]
Men er dette nok til å si at det ikke finnes noe polynom $f \in \mathbb{Z}[Y]$ som gir $f(\alpha ) = 0$ ?