kapittel differensial, oppgåve hjelp?

[jegtrengmattestudent]

hei, jeg får ikke til dette oppgåven her, kan noen hjelpe meg og vise hvordan man skal gjer dette, og får ikke noen svar?? tusen takk for hjelpen:)

I en logistisk vekstmodell for lemenpopulasjonen på Gullfjellet er lemenpopulasjonen y(t) gitt ved følgende differensialligning:
dy/dt= 1/2000 y(4000−y),
der tiden t er målt i år.

a) Hva er bærekapasiteten til lemenpopulasjonen på Gullfjellet? Hva er vekstraten dy/dt til
populasjonen når det er 2000 lemen i fjellet?

b) Skriv opp den generelle løsningen til denne differensialligningen

c) Gå ut fra at startpopulasjonen (ved tiden t = 0) er 400 lemen. Skriv opp løsningen du da får.

[Dolandyret]

hei, jeg får ikke til dette oppgåven her, kan noen hjelpe meg og vise hvordan man skal gjer dette, og får ikke noen svar?? tusen takk for hjelpen:)

I en logistisk vekstmodell for lemenpopulasjonen på Gullfjellet er lemenpopulasjonen y(t) gitt ved følgende differensialligning:
dy/dt= 1/2000 y(4000−y),
der tiden t er målt i år.

a) Hva er bærekapasiteten til lemenpopulasjonen på Gullfjellet? Hva er vekstraten dy/dt til
populasjonen når det er 2000 lemen i fjellet?

b) Skriv opp den generelle løsningen til denne differensialligningen

c) Gå ut fra at startpopulasjonen (ved tiden t = 0) er 400 lemen. Skriv opp løsningen du da får.

a) [tex]\frac{dy}{dt}=0[/tex]. Del 2 av a) sett inn for [tex]y=2000[/tex] og løs.

b) Er litt usikker på hvordan difflikningen ser ut, er det: [tex]\frac{dy}{dt}=\frac1{2000}*y(4000-y)[/tex] ? Isåfall er den separabel og løses ved å samle "y-ledd" på VS og "t-ledd" på HS.

c) [tex]y(0)=400[/tex], etter du har integrert begge sider setter du inn for [tex]t=0[/tex] og [tex]y=400[/tex] og løser for C.

[jegtrengmattestudent]

tusen takk for hjelpen, blir då svaret på a) 1000?

men skjønner ikke b, og hvordan skal jeg gjøre oppgåve c)/ eller hvordan skal man integrer det?? kan du vise det hvordan man skal løse det

[mikki155]

tusen takk for hjelpen, blir då svaret på a) 1000?

men skjønner ikke b, og hvordan skal jeg gjøre oppgåve c)/ eller hvordan skal man integrer det?? kan du vise det hvordan man skal løse det

Som Dolan skriver er difflikningen separabel, som betyr at du kan multiplisere med [tex]dt[/tex] og dele på [tex]y(4000 - y)[/tex]. Da vil venstresiden ha kun med [tex]y[/tex] å gjøre, og høyresiden vil kun ha med [tex]t[/tex] å gjøre right?
Hvis du vet hva delbrøkoppspalting er, skal du fint kunne løse integralene du da får.

[jegtrengmattestudent]

får helt feil svar

[mikki155]

Ok, er du enig i at når du delbrøkoppspalter så får du:

[tex]\frac{1}{y(4000 - y)} = \frac{1}{4000} (\frac{1}{y} - \frac{1}{y - 4000})[/tex] ?

[jegtrengmattestudent]

a) 1/2000 * 2000(4000-2000)/2 = 1000

er det rett at svaret blir 1000?

b) jeg lurer på hva jeg skal gjøre videre etter det her??( skjønner den ikke helt)

[mikki155]

a) 1/2000 * 2000(4000-2000)/2 = 1000

er det rett at svaret blir 1000?

b) jeg lurer på hva jeg skal gjøre videre etter det her??( skjønner den ikke helt)

Åja, du skrev ikke at det skulle deles på to i ditt første innlegg
Men a) er åpenbart riktig.

Når du delbrøkoppspalter, fikk du da omtrent det samme som meg?
Klarer du da å integrere [tex]1/y[/tex]?

[jegtrengmattestudent]

jeg får ikke samme svar, og jeg får ikke til å integrer det
kan du vise utrekninga ?

[mi_hau94@hotmail.com]

jeg får ikke samme svar, og jeg får ikke til å integrer det
kan du vise utrekninga ?

Ok, så hvis difflikningen er:

[tex]dy/dt = y(4000-y)/4000[/tex], så kan den omskrives til:

[tex]\frac{dy}{y(4000-y))} = dt/4000[/tex], right?

Da kan du skrive om venstresiden ved hjelp av delbrøkoppspalting:

[tex]\frac{1}{y(4000-y)} = \frac{1}{4000} (\frac{1}{y} - \frac{1}{y-4000})[/tex], som jeg gjorde ovenfor.

Substituerer du dette inn i difflikningen, får du:

[tex]\frac{dy}{y} - \frac{dy}{y - 4000} = dt[/tex]

Da kan vi integrere fra en initialtid [tex]t_0 = 0[/tex] til en vilkårlig tid [tex]t[/tex], og en initialpopulasjon [tex]y_0[/tex] til [tex]y[/tex]:

[tex]\int_{y_0}^{y} \frac{dy}{y} - \int_{y_0}^{y} \frac{dy}{y-4000} = \int_{0}^{t} dt[/tex]

Som du forhåpentligvis vet, er [tex]d(ln(x))/dx = 1/x[/tex], og det kan vi bruke til å regne ut de to integralene. Så det første integralet blir da [tex]ln(y)[/tex], og det andre blir [tex]ln(y-4000)[/tex]. Konstantleddene vi får pga. [tex]y_0[/tex] kan vi sløyfe i en konstant jeg kaller [tex]K[/tex]. Så vi står igjen med:

[tex]ln(y) - ln(y-4000) = K + t[/tex]

Klarer du da resten selv? Er det ting jeg skrev som du ikke forstår?