matematikk.net

Hei, er integralet av en kontinuerlig funksjon en kontinuerlig funksjon? Finnes det bevis for det?

Det skal stemme ja.

Om du har en kontinuerlig funksjon f(x) over de reelle tallene, og du har integralet til den:

[tex]F(x)=\int_0^xf(u)du[/tex]

da kan vi vise at F(x) er kontinuerlig ved hjelp av epsilon delta argumentasjon.

[tex]|F(x)-F(y)|=|\int_y^xf(u)du|\leq c|x-y|<c\delta[/tex]
hvor konstanten c er maksverdien til f(x) på intervallet [y,x], som vi vet eksisterer siden f er kontinuerlig.
så vi kan velge [tex]\delta<\frac{\epsilon}{c}[/tex].

Som du ser, trenger ikke f være kontinuerlig, bare begrenset.

Om du definerer f som lik 0 for [tex]leq x <0[/tex], og f lik 1 for [tex]0\leq x[/tex] vil:
[tex]\int_0^xf(u)du = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{if $x \leq 0$};\\ x & \mbox{if $0 < x$}.\end{array} \right.[/tex]
Som er en kontinuerlig funksjon.

Mener dette skal holde vertfall, lenge siden jeg har gjort slike oppgaver.