Differensialligningene

[Økonomistudenten]

Hei! Jeg har en del oppgaver i diff.ligninger jeg sliter med, sliter spesielt med å forstå når jeg skal bruke de ulike teknikkene til å løse ligningene. Setter stor pris på hjelp

1. Vis at u*(t) = sint/t - cos t
er en partikulær løsning av differensiallikningen
t*dx/dt + x = t * sin t

2. Løs differensiallikningen

dx/dt = tˆ2*xˆ3

og finn løsningskurven som går gjennom punktet (t,x) = (1,3)

3. Finn den generelle løsningen av
[/tex]
dx/dt + tx = tˆ3

[zell]

1. Mener du at [tex]x(t) = \frac{\sin{t}}{t}-\cos{t}[/tex] er en partikulærløsning?

[tex]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{t\cos{t}-\sin{t}}{t^2}+\sin{t}[/tex]

Sett inn i diffligning:

[tex]t\cdot\left[\frac{t\cos{t}-\sin{t}}{t^2}+\sin{t}\right]+\frac{\sin{t}}{t}-\cos{t} = \cos{t}-\frac{\sin{t}}{t}+t\sin{t}+\frac{\sin{t}}{t}-\cos{t} = t\sin{t} \ \ \blacksquare[/tex]

2.

[tex]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= t^2x^3[/tex]

Denne er separabel:

[tex]\frac{\mathrm{d}x}{x^3} = t^2\mathrm{d}t[/tex]

Integrer begge sider.

3. [tex]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+tx-t^3 = 0[/tex]

Integrerende faktor: [tex]M(r) = \mathrm{e}^{\int t\mathrm{d}t}[/tex]

Multipliser:

[tex]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{\int t\mathrm{d}t}+tx\mathrm{e}^{\int t\mathrm{d}t}=t^3\mathrm{e}^{\int t\mathrm{d}t}[/tex]

[tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[x\mathrm{e}^{\int t\mathrm{d}t}\right] = t^3\mathrm{e}^{\int t\mathrm{d}t}[/tex]

[tex]\mathrm{d}x\mathrm{e}^{\int t\mathrm{d}t} = t^3\mathrm{e}^{\int t\mathrm{d}t}\mathrm{d}t[/tex]

Integrer begge sider:

[tex]x(t)\mathrm{e}^{\int t\mathrm{d}t} = \int t^3\mathrm{e}^{\frac{1}{2}{t^2}}\mathrm{d}t[/tex]

[tex]x(t)\mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}} = \mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}}\left(t^2-2\right)+C[/tex]

[tex]x(t) = C\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}+\mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}-\frac{t^2}{2}}\left(t^2-2\right)[/tex]

[tex]x(t) = C\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}+t^2-2[/tex]

[Økonomistudenten]

Tusen takk for hjelp har noen flere oppgaver jeg er usikker på om jeg har regnet rett på også..

4. Løs følgende differensiallikning
y′ =αy−βy^4

der α > 0 og β > 0.

5. Finn den generelle løsningen av

[tex]\frac{dx}{dt}=\frac{t^{2}+3tx+x^{2}}{t^{2 }}[/tex]

6. Bestem stabiliteten av likevektsløsningene til

[tex]x'=x-5x^{3}-4x^{5 }[/tex]

[zell]

Hva har du gjort selv?

[Økonomistudenten]

På oppgave 4) brukte jeg Bernoullis.

satt y=zˆk, og dermed y'=kzˆ(k-1)*z'

.. Fikk [tex]K=\frac{1}{1-n} = -\frac{1}{3}[/tex]
[tex]z'+\frac{-\alpha }{-\frac{1}{3}}z=\frac{-\beta }{-\frac{1}{3}}[/tex]
[tex]a(t)=3\alpha => A(t)=\frac{3}{2}\alpha ^{2}[/tex]
[tex]Int faktor: e^{\frac{3}{2}\alpha ^{2}}[/tex]

(hopper over litt mellomregning) Ganger alle ledd med int.faktor og får:
[tex](e^{\frac{3}{2}\alpha ^{2}}z)'=\int (e^{\frac{3}{2}\alpha ^{2}}3\beta )dz[/tex]

Er jeg riktig på vei?

[9874321]

Kan du vise steg-for-steg hvordan finne løsningskurven i oppgave 2?
Får bare et svar med imaginære tall og masse røtter..

[zell]

4. Denne er separabel:

[tex]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \alpha y(x)-\beta y^4(x)[/tex]

[tex]\frac{\mathrm{d}y}{\alpha y-\beta y^4} = \mathrm{d}x[/tex]

Jeg løste integralet vha. substitusjonen [tex]u = \alpha-\beta y^3[/tex]

[zell]

Kan du vise steg-for-steg hvordan finne løsningskurven i oppgave 2?
Får bare et svar med imaginære tall og masse røtter..

[tex]\frac{\mathrm{d}x}{x^3} = t^2\mathrm{d}t \ \Rightarrow \ \int x^{-3}\mathrm{d}x = \int t^2\mathrm{d}t[/tex]

[tex]\frac{1}{-3+1}x^{-3+1} = \frac{1}{2+1}t^{2+1} + C \ \Rightarrow \ -\frac{1}{2x^2} = \frac{1}{3}t^3 + C[/tex]

[tex]\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{3}t^3+C[/tex]

[tex]x^2 = \frac{1}{-\frac{2}{3}t^3+C} = \frac{\frac{3}{2}}{C-t^3}[/tex]

[tex]x(t) = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{C-t^3}}[/tex]

[tex]x(1) = 3 \ \Rightarrow \ \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{C-1}} = 3[/tex]

[tex]3\sqrt{C-1} = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} \ \Rightarrow \ C-1 = \frac{1}{9}\cdot\frac{3}{2}[/tex]

[tex]C = 1+\frac{1}{6} = \frac{7}{6}[/tex]

[tex]x(t) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{7}{6}-t^3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{2}{6}\left(7-6t^3\right)}} = \frac{3}{\sqrt{7-6t^3}}[/tex]

[9874321]

Kan du vise steg-for-steg hvordan finne løsningskurven i oppgave 2?
Får bare et svar med imaginære tall og masse røtter..

[tex]\frac{\mathrm{d}x}{x^3} = t^2\mathrm{d}t \ \Rightarrow \ \int x^{-3}\mathrm{d}x = \int t^2\mathrm{d}t[/tex]

[tex]\frac{1}{-3+1}x^{-3+1} = \frac{1}{2+1}t^{2+1} + C \ \Rightarrow \ -\frac{1}{2x^2} = \frac{1}{3}t^3 + C[/tex]

[tex]\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{3}t^3+C[/tex]

[tex]x^2 = \frac{1}{-\frac{2}{3}t^3+C} = \frac{\frac{3}{2}}{C-t^3}[/tex]

[tex]x(t) = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{C-t^3}}[/tex]

[tex]x(1) = 3 \ \Rightarrow \ \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{C-1}} = 3[/tex]

[tex]3\sqrt{C-1} = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} \ \Rightarrow \ C-1 = \frac{1}{9}\cdot\frac{3}{2}[/tex]

[tex]C = 1+\frac{1}{6} = \frac{7}{6}[/tex]

[tex]x(t) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{7}{6}-t^3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{2}{6}\left(7-6t^3\right)}} = \frac{3}{\sqrt{7-6t^3}}[/tex]

Tusentakk!!

[Økonomistudenten]

6. Bestem stabiliteten av likevektsløsningene til

[tex]x'=x-5x^{3}+4x^{5}[/tex]


Kan noen hjelpe meg med denne?

[sbra]

Hvis vi har et dynamisk system [tex]\dot{x} = f(x)[/tex] så sier lineær stabilitetsanalyse at stabiliteten til likevektspunktene er gitt ved fortegnet til [tex]f'(x^{*})[/tex], der [tex]x^*[/tex] representerer en likevektsløsning.

Dersom fortegnet er negativt så har vi et stabilt likevektspunkt. Er det positivt så er det det ustabilt. Hvis [tex]f'(x^*)=0[/tex] så må det ikke-lineær analyse til.

Det første du må gjøre er derfor å finne likevektspunktene. Det gjør du ved å finne løsningene [tex]x^*[/tex] til [tex]\dot{x} = f(x) = 0[/tex].

[Gjest]

Fikk først den deriverte;

[tex]f'(x)=1-15x^{2} +20x^{4}[/tex]

og derav løsningene:

x=1, ustabil likevekt
x=0,5, stabil likevekt
x=0 ustabil likevekt
x=-0,5 stabil likevekt
x=-1 ustabil likevekt

Kan dette stemme?

[Gjest]

Finn den generelle løsningen av:

[tex]\frac{dx}{dt}= \frac{t^{2}+3tx+x^{2}}{t^{2}}[/tex]

Bruker jeg bernoullis her?

siden man har
x'+a()x = b(t)x ^n

[Aleks855]

Ville kanskje bare løst den som en homogen likning, med $x(t) = t\cdot u(t)$

[Gjest]

Ville kanskje bare løst den som en homogen likning, med $x(t) = t\cdot u(t)$

Projektiv ligning? Får ikke til å separere den.