Lp - Rom

[madfro]

Hei, er det noen som kan gi en forklaring på denne oppgaven?

Suppose that [tex]\Omega[/tex] is bounded and that [tex]1 \leq p \leq q \leq \infty[/tex].
Prove that [tex]L^q(\Omega)\subset L^p(\Omega)[/tex]. (Hint: Use Hölder's Inequality).

[Aleks855]

Hvis $f\in L^q(\Omega)$ ønsker du å vise at $\int_{\Omega} \lvert f\rvert^p\,d\mu$ er endelig. Hölders ulikhet kan hjelpe til med å gi en øvre grense på integralet.

[madfro]

Ok, da er jeg et steg videre.

Sliter litt med å se hvordan Hölder's ulikhet skal brukes, da jeg ikke vet om sammenhengen [tex]\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1[/tex] er oppfyllt. Her det noen vei rundt dette? Kan man for eksempel utnytte at man vet at [tex]q \geq p[/tex], slik at [tex]p = q - r, r \geq 0[/tex] og omformulere Hölder's ulikhet fra den originale formen?

[Aleks855]

Ja, du er inne på noe. Tenk at $\frac{1}{p}=\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$ for $r > 0$.

Kanskje et litt tynt hint, men jeg tror et videre hint kan være i overkant stort.

[Gustav]

Noen flere hint

$\int_{\Omega} |fg|\leq (\int_{\Omega}|f|^r)^{\frac{1}{r}} (\int_{\Omega}|g|^s)^{\frac{1}{s}} $.
Sett $g=1$. Siden $\Omega$ er begrenset er dermed $\int_{\Omega}d\mu<\infty$, (i det minste for endelig mål $\mu$)

[madfro]

Da tror jeg at jeg forstår beviset

Takk for hint!

Er ny på området, og leser på egenhånd, så det kan nok bli flere spørsmål etter hvert

[Gustav]

Noen flere hint

$\int_{\Omega} |fg|\leq (\int_{\Omega}|f|^r)^{\frac{1}{r}} (\int_{\Omega}|g|^s)^{\frac{1}{s}} $.
Sett $g=1$. Siden $\Omega$ er begrenset er dermed $\int_{\Omega}d\mu<\infty$, (i det minste for endelig mål $\mu$)

For ordens skyld, her er resten av beviset:

La $f\to f^p$, og $r=\frac{q}{p}\geq 1$. Da blir $\int_{\Omega} |f^p|\leq (\int_{\Omega}|f|^q)^{\frac{1}{r}} \mu (\Omega)^{\frac{1}{s}}<\infty $