matematikk.net

Noen som har en løsning på denne oppgaven, fra eksamen i TMA4265 ved NTNU:
Anta at David fisker sammen med to venner. Hver av dem får fisk uavhengig av hverandre i henhold til en Poisson-prosess med intensitet 2 pr. time. Hva er forventet tid til alle har fanget minst én fisk?

Ikke sikker på om dette stemmer, men prøver meg. Rent intuitivt skulle en tro at forventet tid ligger i nærheten av 30 minutter.

Forventet verdi er 2 fisker pr. time ([tex]\lambda = 2[/tex]). La oss kalle:
A: David får minst én fisk
B: Davids venn #1 får minst én fisk
C: Davids venn #2 får minst én fisk

Siden hendelsene er uavhengige har du:

[tex]P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C)=P(A)^3[/tex]

X: Antall fisk David får ila. én time:

[tex]P(A)=P(X\geq 1) = 1-P(X=0) = 1- \frac{\lambda^0\cdot \mathrm{e}^{-\lambda}}{0!} =1- \mathrm{e}^{-\lambda} = 1-\mathrm{e}^{-2} = 0.865[/tex]

[tex]P(A\cap B\cap C) = 0.865^3 = 0.647[/tex]

Dette er sannsynligheten for at alle har fått minst én fisk etter en time. Sannsynligheten for at de får 0 fisk i løpet av en time er da gitt ved: [tex]P = 1-0.647 = 0.353[/tex], la oss så finne en Poisson-fordeling (med intensitet 2 fisk/time) som gir denne sannsynligheten for 0 fisk.

[tex]P(X=k) = \frac{(\lambda t)^k\mathrm{e}^{-\lambda t}}{k!}[/tex]

[tex]P(X=0) = \frac{(2t)^0\mathrm{e}^{-2t}}{0!} = 0.353 \ \Rightarrow \ t = \frac{\ln{0.353}}{-2} = 0.52\ \mathrm{timer} = 31.2\ \mathrm{minutter}[/tex]

Som jo virker fornuftig....

Vil bare påpeke at det beste med Zells svar er at det avsluttes med "som jo virker fornuftig" i tillegg til den innledende gjetningen.

Slike ting er veldig smart å gjøre spesielt på eksamen.

Jeg husker jeg hadde en kompis på forkurs som jeg tok fysikk med, og etter eksamen diskuterte vi hvilke svar vi hadde fått. Det var en oppgave der man skulle beregne hvor lang tid det ville tatt å kjøre distansen fra jorda til månen, dersom man kjørte i en bil som hadde ganske realistiske verdier for fart og akselerasjon osv. Kompisen min fikk 28 sekunder som svar, og tenkte ikke mer over oppgaven.

Litt mer klokt hadde det vært å vurdere om svaret faktisk virker riktig. Har man dårlig tid kan det hende det må stå, men bare det å skrive "dette svaret virker åpenbart feil" viser sensor at man innser at noe har gått galt i utregningen, og at man ikke faktisk tror at månen er ca. 28 sekunder unna i en Renault. Veldig ofte er det bare en slurvefeil som har skylda for ekstremt store avvik i svaret, og man tilgis gjerne for slikt. Spesielt dersom man viser at man skjønner at det er feil.

La [tex]T[/tex] være antall timer før David fanger første fisk. Da er [tex]P(T>t)=e^{-2t}[/tex] slik at [tex]P(T\le t) = 1-e^{-2t}[/tex].

Siden de 3 vennene fisker uavhengig er [tex]P(T_3\le t) = (1-e^{-2t})^3[/tex] der [tex]T_3[/tex] er antall timer før alle har fått fisk. Da er sannsynlighetsfordelinga [tex]f[/tex] for [tex]T_3[/tex] den deriverte av dette, altså [tex]f(t) = 6e^{-2t}(1-e^{-2t})^2[/tex]. Forventningsverdien til [tex]T[/tex] er nå [tex]\int_0^\infty tf(t) dt=\dots=\frac{11}{12}[/tex].

Mer generelt er [tex]T_n[/tex] gitt ved [tex]\frac1\lambda\sum_{k=1}^n \frac1k[/tex] dersom parameteren i prosessen er [tex]\lambda[/tex] i stedet for 2.