matematikk.net

Noen som kan hjelpe med denne? : [tex]\int_{0}^{2x} sin(t^2) dt[/tex]

Tips:

[tex]\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \qquad\text{(for } a\neq -1\text{)}\,\![/tex]

Andreas345 skrev:Tips:

[tex]\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \qquad\text{(for } a\neq -1\text{)}\,\![/tex]

Takk, Andreas345.
Men hadde visst glemt en sinus inni der.. mente egentlig:

[tex]\int_{0}^{2x} sin(t^2) dt[/tex]

Kan du den også eller?

https://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral

$\sin(t^2)$ har vel ikke en elementær antiderivert såvidt jeg vet.

Regner med dette er del av større oppgave hvor man skal partiell derivere / derivere en funksjon?

kan du bruke at:

[tex]\int \sin(t^2) dt[/tex]

[tex]\sin(t)[/tex] kan uttrykkes vha uendelig sum

[tex]\sin(t) = t - (t^3/3!) + (t^5/5!) - (t^7/7!) +...[/tex]


erstatt
[tex]t \,\,med \,\,t^2[/tex]

[tex]\sin(t^2) = t^2 - (t^6/3!) + (t^{10}/5!) -...[/tex]

[tex]\int \sin(t^2) dt = \int t^2 dt - (1/6)\int t^6 dt + (1/120)\int t^{10} dt -...[/tex]

[tex]\int \sin(t^2) dt = (t^3/3) - (1/42)t^7 + (1/1320)t^{11} -...[/tex]

osv...

Hele oppgaven er:
[tex]\lim x \to0 \frac{\int_{0}^{2x}sin(t^2)dx}{x^3}[/tex]
Trodde ikke man skulle partiell derivere den, men det kan vel stemme det... Takk for mange svar!

Noen andre må gjerne utdype bedre enn meg, men slik jeg ser det så bruker vi l'hopital her ettersom [tex]\lim_{x \to 0} \int_0^{2x} sin(t^2) dt = 0[/tex] (Her trenger vi ikke å regne ut det bestemte integralet ettersom sinus er en symmetrisk funksjon, og følgelig blir summen 0 når grensene er like).

og [tex]\lim_{x \to 0} x^3=0[/tex]

[tex]\therefore \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{2x} sin(t^2) dt}{x^3} = \left [ \frac{0}{0} \right][/tex]

Bruker l'hopital og ved fundamentalteoremet for kalkulus får vi at:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}\int_0^{2x} sin(t^2) dt}{\frac{d}{dx}x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{ 2\sin(4x^2)}{3x^2}[/tex] osv

Endte opp med [tex]\frac{8}{3}[/tex] som svar.

Andreas345 skrev:Noen andre må gjerne utdype bedre enn meg, men slik jeg ser det så bruker vi l'hopital her ettersom [tex]\lim_{x \to 0} \int_0^{2x} sin(t^2) dt = 0[/tex] (Her trenger vi ikke å regne ut det bestemte integralet ettersom sinus er en symmetrisk funksjon, og følgelig blir summen 0 når grensene er like).

og [tex]\lim_{x \to 0} x^3=0[/tex]

[tex]\therefore \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{2x} sin(t^2) dt}{x^3} = \left [ \frac{0}{0} \right][/tex]

Bruker l'hopital og ved fundamentalteoremet for kalkulus får vi at:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}\int_0^{2x} sin(t^2) dt}{\frac{d}{dx}x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{ 2\sin(4x^2)}{3x^2}[/tex] osv

Endte opp med [tex]\frac{8}{3}[/tex] som svar.

Fundamentalteoremet!!!!
Har jobbet så mye med kalkulus i det siste at jeg begynner å bli litt distre... TUSEN TAKK!

Bare hyggelig