matematikk.net

Hei,

har en matrise med karakteristisk polynom (1-lambda)(lambda+1)(lambda-2).

Hvordan kan jeg bruke dette til å vise at determinanten til matrisen er -2?

Forstår ikke helt sammenhengen.

Takk for hjelp!

Vi gjør generelt ikke det. Vi bruker den karakteristiske likninga til å finne egenverdier, ved å ta determinanten $\mathrm{det}(tI-A)$.

Determinanter har vi andre metoder for å finne.

Okei,

står i oppgaven at jeg skal bruke p(lambda)=(1-lambda)(lambda+1)(lambda-2) til å svare på hva det(A) er. Har jo regnet ut determinanten, som er -2, med "vanlig" metode, samt funnet det karakteristiske polynomet =-lambda^3+2lambda^2+lambda-2....Ser jo at determinanten er det samme som siste ledd i det karakteristiske polynomet.

Så har ikke det en sammenheng?

Dette er da oppgaveteksten:


La

A=[0,1,2 ]
[4,-3,-4]
[-3,3-5]

(3x3 matrise der altså)


a) Vis at karakteristisk polynom for matrisa A er: p(λ) = (1−λ)(λ+1)(λ−2). Bruk p(λ) til å svare på disse spørsmålene: Hva er det(A)? Er A invertibel? Er A + I invertibel?

heihei skrev:Dette er da oppgaveteksten:


La

A=[0,1,2 ]
[4,-3,-4]
[-3,3-5]

(3x3 matrise der altså)
a) Vis at karakteristisk polynom for matrisa A er: p(λ) = (1−λ)(λ+1)(λ−2). Bruk p(λ) til å svare på disse spørsmålene: Hva er det(A)? Er A invertibel? Er A + I invertibel?

HAR du skrevet riktig 3x3 matrise, Wolfram for følgende karakteristisk polynom

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ch ... C+-5%7D%7D

og determinant lik 38

http://www.wolframalpha.com/input/?i=de ... C+-5%7D%7D

Forøvrig har A en invers, er invertibel hvis

[tex]|A|\neq 0= \det(A)[/tex]

Det har jeg selvfølgelig ikke, skal være: [0,1,2]
[4,-3,-4]
[-3,3,5]

Ikke negativt 5-tall.

Jeg klarer som sagt å finne det, om A er invertibel og om A+I er invertibel. Men skjønner ikke helt hvordan jeg skal bruke den karakteristiske likningen til det.

heihei skrev:Det har jeg selvfølgelig ikke, skal være: [0,1,2]
[4,-3,-4]
[-3,3,5]
Ikke negativt 5-tall.
Jeg klarer som sagt å finne det, om A er invertibel og om A+I er invertibel. Men skjønner ikke helt hvordan jeg skal bruke den karakteristiske likningen til det.

trur rett og slett du kan se det fra at:

[tex]p(λ) = (1−λ)(λ+1)(λ−2)= -2+λ+2 λ^2-λ^3[/tex]

dvs konstantleddet til p(λ), dvs -2, men nå får matematikerne korrigere og supplere...
altså er

[tex]|A|=\det(A)=-2[/tex]

heihei skrev:Hei,

har en matrise med karakteristisk polynom (1-lambda)(lambda+1)(lambda-2).

Hvordan kan jeg bruke dette til å vise at determinanten til matrisen er -2?

Forstår ikke helt sammenhengen.

Takk for hjelp!

Konstantleddet til et polynom $f$ vil alltid være lik $f(0)$, så gitt en $n$x$n$-matrise $A$ har vi at konstantleddet til det karakteristiske polynomet $p(\lambda)$ er lik $p(0) = \det(A - 0 \cdot I) = \det(A)$.

Derfor er i dette tilfellet $\det(A) = -2$.

Ja, det er jo det jeg har "hatt på følelsen". Men takk for forklaringer!