Integrasjonsteknikker

[Intoppg]

Har en oppgave her jeg gjerne skulle hatt litt hjelp med.



Jeg sliter egentlig litt med å gjøre nytte av det første hintet. Kommer meg nemlig egentlig ikke noe nærmere et bestemt uttrykk ved å integrere. Noen som kan hjelpe?

[Nebuchadnezzar]

Matte 1 har spenstige oppgaver for tiden dette liker en. Velger å ta noen hjelperesultater
før jeg begynner.
\begin{align*}
g(x) \cdot f''(x) & = \bigl[\,\overbrace{2g''(x) - f(x) \cdot g''(x)}^{(iv)}\,\bigr] \cdot \overbrace{f''(x)}^{(iii)} = 2 - f(x)g''(x) \\
\int f(x) g''(x)\,\mathrm{d}x & = f(x)g'(x) - \int f'(x) g'(x)\,\mathrm{d}x = f(x)g'(x) - f'(x) g(x) + \int f''(x) g(x)\,\mathrm{d}x
\end{align*}
Ved å ta det bestemte integralet fås da
\begin{align*}
I & = \int_5^7 f(x) g''(x)\,\mathrm{d}x \\
& = \Bigl[ f(x)g'(x) - f'(x) g(x) \Bigr]_5^7 + \int_5^7 g(x) \cdot f''(x)\,\mathrm{d}x \\
& = 0 + \int_5^7 2 - f(x)g''(x)\,\mathrm{d}x \\
I & = \frac{4}{2} = 2
\end{align*}
Grunnen til at alt forsvinner er at f/g har et kritisk punkt i både 5 og 7. Må løpe til forelesning men bare spør om noe var uklart.

[Intoppg]

Takk! ja, har vært ganske høyt nivå på oppgavene de siste to ukene. Veldig mange som sliter..

Nytt spørsmål. Hvordan skal jeg løse dette ved regning?

[Urosmooth]

Takk! ja, har vært ganske høyt nivå på oppgavene de siste to ukene. Veldig mange som sliter..

Nytt spørsmål. Hvordan skal jeg løse dette ved regning?

Det går ikke, du skal liksom se at en verdi for b kan være den eneste løsningen. Tror du har regnet litt feil. Når du har evaluert integralet skal du ha to ln ledd med b i seg. Når du setter inn b for disse 2 leddene blir det ene leddet= ln 1 og det andre leddet ln 2.

[Intoppg]

Jeg ender opp med dette her..:



På venstre siden har jeg jo bare fyllt inn grensene for integralet. Hva nå?

[Intoppg]

Det skal selvsagt også være ln foran |b-5|!

[Nebuchadnezzar]

Anta at alle leddene på hver side som har logaritmer skal være like
og at leddene som ikke inneholder logaritmer skal være like. Det må ikke være sånn
men det kan være en rimelig antakelse. Via sammenlikning får du da
\begin{align}
b - 6 & = 1 \\
\frac{63}{4} \log \bigl| b - 8\bigr| - \frac{25}{3} \log \bigl| b - 5\bigr| - \frac{64}{3} \log \bigl| 2 \bigr| & = -\frac{89}{3} \log 2
\end{align}
Og da er det ikke så vanskelig å finne en $b$ som tilfredstiller begge likningene.

[WarpField]

Ved å ta det bestemte integralet fås da
\begin{align*}
& = \Bigl[ f(x)g'(x) - f'(x) g(x) \Bigr]_5^7 + \int_5^7 g(x) \cdot f''(x)\,\mathrm{d}x \\
& = 0 + \int_5^7 2 - f(x)g''(x)\,\mathrm{d}x \\
I & = \frac{4}{2} = 2
\end{align*}
Grunnen til at alt forsvinner er at f/g har et kritisk punkt i både 5 og 7. Må løpe til forelesning men bare spør om noe var uklart.

Hei igjen Nebuchadnezzar, og som vanlig takk for hjelpen. Da jeg gjorde denne oppgaven klarte jeg og komme meg til dette leddet. Det eneste jeg ikke forsto var hvorfor de to leddene forsvinner.
Kan man her se på den deriverte av f/g? som ville vært noe sånt som (f'g-g'f)/g^2 og ut i fra dette si at den eneste måten dette er 0 vil være dersom f', g' eller f'g-g'f = 0? Siden hverken g eller f kan være 0. Og hvis dette er metoden, må man da gjøre det samme for den dobbeltderiverte av f/g for å kunne se at man kan stryke det siste leddet (-f*g'')?
Eller finnes det en lettere måte og gjøre det på?

Og tusen takk for den supre jobben du gjør!

PS: hvorfor ble det 4/2 =2?

[Nebuchadnezzar]

Tja angående siste overgang så har en
$$
I = 2 \int_5^7 1\,\mathrm{d}x - I \, \Rightarrow \, 2I = 2 \Bigl[ x \Bigr]_5^7 \, \Rightarrow \, I = 7 - 5 = 2.
$$
Hvor I da er $ \displaystyle \int_5^7 g(x) \cdot f''(x)\,\mathrm{d}x$. At det første blir null
kan ses fra produkt regelen ja, helt riktig! At $f/g$ har et kritisk punkt betyr at
$$
\left( \frac{f}{g} \right)' = 0 \ \Rightarrow \ \frac{f'g - f g'}{g^2} = 0
$$
Og selvsagt så er $g^2>0$ =)