Bevis med induksjon
Lagt inn: 18/09-2013 17:31
Hei
Jeg sliter skikkelig med en induksjonsoppgave. Den eneste type induksjon jeg har vært borti før, er med enkle funksjoner, og hvor man får oppgitt en S(n).
Oppgaven lyder slik;
Vis ved induksjon at den deriverte av [tex]sin(ax+b)[/tex] er gitt ved formelen:
[tex]f^{n}x=(-1)^k\cdot{a^n}sin(ax+b)[/tex] Når, [tex]n=2k[/tex]
[tex]f^{n}x=(-1)^k\cdot{a^n}cos(ax+b)[/tex] Når, [tex]n=2k+1[/tex]
Jeg har tenkt følgende;
Det er jo ganske lett å se at hvis du deriverer funksjonen noe ganger, så vil den stemme med mønsteret ovenfor.
Jeg begynner med å sette opp fundamentet, når [tex]n=1[/tex]. Da er [tex]k=0[/tex].
[tex]f^{1}x=(-1)^0\cdot{a^1}cos(ax+b)[/tex] som gir [tex]a\cdot{cos}(ax+b)[/tex] [tex]OK[/tex]
Så tenker jeg å betrakte de to funksjonene forskjellig for k. Hva hvis jeg betrakter sinusfunksjonen for partall, og cosinusfunksjonen for oddetall.
[tex]f^{2k}x=0+2+4+6........+2k=(-1)^k\cdot{a^{2k}}sin(ax+b)[/tex]
[tex]f^{2k+1}x=1+3+5+7........+2k+1=(-1)^k\cdot{a^{2k+1}}cos(ax+b)[/tex]
er jo ganske åpenbart for meg at vi må ta denne induksjonen i to steg.
Det jeg lurer på, er det riktig å sette dem lik funksjonene? I såfall, hvordan skal jeg gå frem for å regne det ut?
Setter stor pris på innspill.
Jeg sliter skikkelig med en induksjonsoppgave. Den eneste type induksjon jeg har vært borti før, er med enkle funksjoner, og hvor man får oppgitt en S(n).
Oppgaven lyder slik;
Vis ved induksjon at den deriverte av [tex]sin(ax+b)[/tex] er gitt ved formelen:
[tex]f^{n}x=(-1)^k\cdot{a^n}sin(ax+b)[/tex] Når, [tex]n=2k[/tex]
[tex]f^{n}x=(-1)^k\cdot{a^n}cos(ax+b)[/tex] Når, [tex]n=2k+1[/tex]
Jeg har tenkt følgende;
Det er jo ganske lett å se at hvis du deriverer funksjonen noe ganger, så vil den stemme med mønsteret ovenfor.
Jeg begynner med å sette opp fundamentet, når [tex]n=1[/tex]. Da er [tex]k=0[/tex].
[tex]f^{1}x=(-1)^0\cdot{a^1}cos(ax+b)[/tex] som gir [tex]a\cdot{cos}(ax+b)[/tex] [tex]OK[/tex]
Så tenker jeg å betrakte de to funksjonene forskjellig for k. Hva hvis jeg betrakter sinusfunksjonen for partall, og cosinusfunksjonen for oddetall.
[tex]f^{2k}x=0+2+4+6........+2k=(-1)^k\cdot{a^{2k}}sin(ax+b)[/tex]
[tex]f^{2k+1}x=1+3+5+7........+2k+1=(-1)^k\cdot{a^{2k+1}}cos(ax+b)[/tex]
er jo ganske åpenbart for meg at vi må ta denne induksjonen i to steg.
Det jeg lurer på, er det riktig å sette dem lik funksjonene? I såfall, hvordan skal jeg gå frem for å regne det ut?
Setter stor pris på innspill.