Ulikhet, induksjon

[laustr]

Hei! lurer på om at dette her er riktig gjort. Og om jeg eventuelt har skrevet for mye/lite

oppgaven er : Vis ved induksjon at for alle naturlige tall n så er

[tex]{\frac {1*3*5*...*(2\,n-1)}{1*2*3*...*n}}\leq \, {2}^{n}[/tex]

Det jeg har gjort er:

[tex]V(k)={\frac {1*3*5*...*(2\,k-1)}{1*2*3*...*k}}[/tex]

[tex]H(k)= {2}^{k}[/tex]

Test for n=k=1


[tex] \left( \frac{\left(2\cdot 1-1\right)}{1}\le 2 \rightarrow 1\le 2, \right) [/tex]


Vi ser at det stemmer.

Så antar vi at det stemmer for n=k

[tex]n=k[/tex]

[tex]{\frac {1*3*5*...*(2*k-1)}{1*2*3*...*k}}\leq \, {2}^{k}[/tex]

[tex]n=k+1[/tex]

[tex]{\frac {1*3*5*...*(2*k+1)}{1*2*3*...*(k+1)}}\leq \, {2}^{k+1}[/tex]

[tex]{\frac {1*3*5*...*(2*k-1)*(2*k+1)}{1*2*3*...*k*(k+1)}}\leq \, {2}^{k}*2[/tex]

[tex]{\frac {1*3*5*...*(2*k-1)}{1*2*3*...*k}}*{\frac {(2*k+1)}{k+1}}\leq \, {2}^{k}*2[/tex]

[tex]V(k)*{\frac {(2*k+1)}{k+1}}\leq \, H(k)*2[/tex]

Vi ser at dette er sant siden [tex]{\frac {2*k+1}{k+1}}[/tex] ALLTID er mindre enn 2, dette kommer av at [tex]2k+1[/tex] aldri er mer eller lik det dobbelte av [tex]k+1[/tex]

[wingeer]

Argumentet er mer eller mindre riktig, selv om jeg syntes notasjonen er litt stygg. :p
"Penere" å skrive:
[tex]\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)}{k!} \frac{2k+1}{k+1} \leq 2^k \frac{2k+1}{k+1} < 2^k \cdot 2 = 2^{k+1}[/tex]. Hvor du bruker induksjonshypotesen i den første ulikheten.
For øvrig klarer jeg ikke se når det skal være likhet her (mindre eller lik)?

[Audunss]

For øvrig klarer jeg ikke se når det skal være likhet her (mindre eller lik)?

Siden venstresiden er noe som ligner på fakultet/n!, og 0!=1, kan det vell argumenteres for at det er naturlig å definere venstresiden som lik 1, når n=0, høyresiden er såklart lik 1.

[Gustav]

For øvrig klarer jeg ikke se når det skal være likhet her (mindre eller lik)?

Siden venstresiden er noe som ligner på fakultet/n!, og 0!=1, kan det vell argumenteres for at det er naturlig å definere venstresiden som lik 1, når n=0, høyresiden er såklart lik 1.

Bortsett fra at telleren på venstresiden ikke er definert for n=0..

[Audunss]

For øvrig klarer jeg ikke se når det skal være likhet her (mindre eller lik)?

Siden venstresiden er noe som ligner på fakultet/n!, og 0!=1, kan det vell argumenteres for at det er naturlig å definere venstresiden som lik 1, når n=0, høyresiden er såklart lik 1.

Bortsett fra at telleren på venstresiden ikke er definert for n=0..

Jeg vet den ikke er definert for 0, men som sagt så minner den veldig mye om fakultet, og om du skal definere den for 0, vil det vell kansje være naturlig å definere telleren som 1 også. Sier ikke at den er definert for 0, men om du utvider den, vil jeg vertfall mener venstresiden bør være definert som 1 i 0.

Telleren kan vell også skrives som (2n-1)!/((n-1)!*2) om jeg ikke tar helt feil.

Ser nå at det blir litt feil, siden det blir negativ "fakultet" i teller, for n=0 , men føler fortsatt at å definere det som 1 kan være naturlig om du skal he en definisjon i n=0.

[laustr]

Takk for svar, har nettopp begynt å lese (selv) på kalkulus boken til Tom Lindstrøm og er litt ustø på induksjonensbevis, forhåpentlig vis vil dette bli bedre etter kvart.

[tex]\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)}{k!} \frac{2k+1}{k+1} \leq 2^k \frac{2k+1}{k+1} < 2^k \cdot 2 = 2^{k+1}[/tex].

Likte fremgangsmåten din veldig godt wingeer. Har hatt litt problem med å bruke induksjon på ulikheter siden det bare var et eksempel i boka og jeg ikke kan huske at jeg hadde dette i R2.

[laustr]

Poster en ny oppgave på samme tråden siden den ligger så å si på samme linje.

Har en annen oppgave jeg ikke får til. Prøvde å gjør slik som wingeer, men sitter litt fast.

Oppgaven er forøvrig:
vis at [tex] \frac {1} {2 sqrt n} \leq \frac {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} [/tex]

Må jeg bruke en annen metode på den her?

Takk.

[Vektormannen]

Jeg har hjulpet noen med denne før, men da var det oppgitt (jeg tror man skulle finne det i en tidligere deloppgave) at [tex]\sqrt{1-t} \leq 1 - \frac{t}{2}[/tex]. Her kan du gå frem med induksjon. Da vil du mest sannsynlig komme til et punkt der denne ulikheten kan være nyttig. Hvor langt kommer du før det stopper?

[laustr]

Vel, jeg har vist at det er riktig for n=1 og har forenklet høyresiden når n=n+1:

[tex]\frac {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} \, \cdot \, \frac {2n+1} {2n+2}[/tex]

og så vidt begynt på induksjonen (som jeg er veldig usikker på)

[tex] \frac{1}{2sqrt n} \cdot \frac {2n+1}{2n+2} \leq \prod _{i=1}^{n}({\frac {2\,i-1}{2\,i}}) \cdot \frac {2n+1}{2n+2} [/tex]

(går det forresten ann å snu ulikhets tegnet. Jeg skriver bare inn i maple også konverterer den det for meg, men jeg får bare "\leq" )

EDIT: glemte en brøk ved produkttegnet

[Vektormannen]

Hvis du nå benytter at [tex]\frac{2n+1}{2n+2} = \frac{2n+2}{2n+2} - \frac{1}{2n+2} = 1 - \frac{1}{2n+2} = 1 - \frac{1}{2(n+1)}[/tex] så kan du anvende den ulikheten som jeg nevnte, ser du det?

[laustr]

Har sett på forskjellige måter, men ser desverre ikke hvordan jeg skal bruke [tex]sqrt {1-t} \leq 1-\frac{t}{2}[/tex]


EDIT: rettet opp en shwops

[Vektormannen]

Først og fremst så skal t være i telleren, ikke i nevneren. Hvis vi da velger [tex]t = \frac{1}{n+1}[/tex] så er [tex]1 - \frac{1}{2(n+1)} = 1 - \frac{t}{2} \geq \sqrt{1-t} = \sqrt{1-\frac{1}{n+1}} = \sqrt{\frac{n}{n+1}[/tex]. Er du med på dette? Og ser du da veien videre?

[laustr]

Vel, det der hadde jeg egentlig kommt fram til, men trodde det var feil.

Så jeg har nå fått d til:

Vi vet at [tex] sqrt {1-t} \, \leq \, 1-\frac{t}{2} [/tex]

Setter vi då [tex]t=\frac {1}{n+1}[/tex] så får vi
[tex]1-\frac{1}{2\,(n+1)} = 1-\frac {t}{2} \geq \sqrt{1-t} = \sqrt{1-\frac{1}{n+1}} = \sqrt{\frac{n}{n+1}[/tex]

med dette ser vi at:

[tex] 1- \frac {1}{2\,(n+1)} \geq sqrt {\frac{n}{n+1}}[/tex]
[tex]\frac {1}{2\,sqrt n} \cdot (1- \frac {1}{2\, (n+1)}) \geq sqrt n \cdot sqrt {\frac{1}{n+1}} \cdot \frac{1}{2 sqrt n}[/tex]
[tex] \frac {1}{2\,sqrt n} \cdot (1- \frac {1}{2\, (n+1)}) \geq \frac {1}{2\, sqrt {n+1}}[/tex]

[Vektormannen]

Ser riktig ut det, og da er beviset ferdig

[laustr]

Glemte å si takk for hjelpen, Vektormannen. Så takk for hjelpen