Flux ut av tetraheder

19/04-2012 21:54

Jeg prøver å løse følgende oppgave

Find the flux of [tex]\mathbf{F} = x \mathbf{i} + z \mathbf{j}[/tex]
out of the tetrahedon bounded by the coordinate planes and the plane [tex] x + 2y + 3z = 6 [/tex].

Utifra opplsyningene ovenfor så skal jeg finne fluksen ut av følgende figur

http://i.imgur.com/dYUM3.png

Så jeg trenger vel egentlig å regne ut 4 dobbeltintegraler på formen

[tex]\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}S[/tex] hvor [tex]\mathrm{d}\mathbf{S} = \hat{\mathbf{N}}\mathrm{d}S[/tex]

Hmmm... Det første jeg tenker er at fluksen ut av bunnen av trekanten er null. Siden den ikke har noe fluks i [tex]z[/tex] retning, riktig?

Videre så sa noen venner av meg at fluksen ut av det røde området også er null, men jeg fikk ikke med meg grunnen, kan noen forklare?

For å regne ut fluksen i y retning (grønn), blir kanskje mer riktig å si i zx-planet eller whatever. Satt jeg opp integralet slik

[tex]\iint_D F \cdot \hat{N} \mathrm{d}s \, = \, \int_0^6 \int_0^{2 - 1/3x} \langle x , z , 0 \rangle \cdot \langle 0 , -1 , 0 \rangle \mathrm{d}z\mathrm{d}x \, = \, -4 [/tex] og dette virker riktig.

Men hvordan regner jeg ut fluksen av den flaten som vender utover? Den flaten med retningsvektor [tex](1,1,1)[/tex] ?

Tenkte litt på å bruke en projeksjon ned i [tex]xy[/tex] planet, men kom ikke så langt med det... Prøvde også å bruke substitusjon med [tex]u = y[/tex] og [tex]v = z[/tex], men kom heller ikke i mål der. Setter som vanlig stor pris på hjelp =)

20/04-2012 00:28

Eller er det så enkelt at vi bare kan bruke divergensteoremet her(stokes?)?
Har uansett ikke kommet til det enda i boken, men virker greit.

Blir dette rett?

[tex]\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}S \, = \, \iiint \text{div}(F) \mathrm{d}V[/tex]
hvor [tex]\iiint \text{div} ( F) \mathrm{d}V \, = \, \int_0^6 \, \int_0^{x/2-3} \ \int_{0}^{2 - x/3 - y/2} 1 \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x\, = \, \frac{6 \cdot 3 \cdot 2}{6}\,=\, 6[/tex]

og kunne noen si hvordan jeg løser oppgaven på den mer tungvindte metoden òg? Er vel nyttig å lære seg begge metodene? =)

20/04-2012 02:38

Den siste utregningen ser i alle fall riktig ut. Det første du gjør i den første posten er også riktig såvidt jeg kan se.

Det er ingen fluks gjennom den røde flaten fordi feltet der er gitt ved [tex]\vec{F} = (0, z, 0)[/tex] og flaten har normalvektor [tex](1,0,0)[/tex] (vektorfeltet er parallelt med flaten, så det kan ikke være noen fluks.)

For å beregne integralet på den 'skrå' flaten så kan du gjøre en substitusjon som du sier. Husk på at enhetsnormalvektoren til flaten er [tex]\hat n = \frac{1}{\sqrt{14}} (1,2,3)[/tex], og ikke (1,1,1). Integralet ditt ser da slik ut:

[tex]\iint_S \frac{1}{\sqrt{14}} (x + 2z) \ dS[/tex], der S er denne flaten.

Å integrere dette tar vel boken for seg i de forgående kapitlene? Kort sagt, hvis du har en flate y = g(x,z) du skal integrere over så vil [tex]dS[/tex] være gitt ved

[tex]dS = \sqrt{\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial g}{\partial z}\right)^2 + 1} \ dx dz[/tex]

(Det er kort oppsummert her: http://en.wikipedia.org/wiki/Surface_integral)

Bruker du dette vil du ende opp med 6 som svar med denne metoden også.

20/04-2012 08:20

Takker! Ørlite spørsmål, er med på det du sier men hvordan blir grensene?

20/04-2012 11:36

Sorry, glemte å si det. Her tok jeg utgangspunkt i å integrere over trekanten som ligger i xz-planet. (Derfor er flaten gitt som y = f(x,z).) Altså samme grenser som i sted.