Definasjonsområde, verdimengde og globale ekstremalpunkt

[akamond]

Jeg har eksamen på ondag i matematikk og etter å ha kommet meg gjennom boka har jeg noen spørsmål som jeg ikke finner svaret på i boka eller på denne siden. Derfor håper jeg noen av dere kan hjelpe meg.

Har en oppgave der jeg skal finne definasjonsområdet og verdimengden til:

f(x) = x/x^2+2x+1
f(x) = 1/ [symbol:rot] x^2-4 (Kvadratroten skal være over hele nevneren)


Har også en oppgave der jeg skal finne de globale ekstremalpunktene til:

f(x) = -x^3-6x^2+15x

(Jeg forstår veldig lite av globale ekstremalpunkt, mens jeg har full kontroll på lokale ekstremalpunkt)


Håper noen av dere kan hjelpe meg, evt ordne på mine oppgaver slik at de blir litt enklere å forstå for dere andre.[/u]

[FredrikM]

[tex]f(x) = -x^3-6x^2+15x=-x(x^2-6x+15)[/tex]

Løs den ene faktoren (er nå en andregradslikning). Dermed ser du lett nullpunktene? (når er funksjonen y=x lik null?)

[tex]f(x) = \frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{x}{(x+1)^2}[/tex]

Funksjonen er altså definert for [tex]\mathbb{R}\setminus\left{-1\right}[/tex]

Ser du hvorfor?

[akamond]

Det skjønner jeg. Men for å finne nullpunktet så setter jeg f(x) = 0? Så regner jeg det som en ligning. Men hvordan regner jeg da ut toppunkt og bunnpunkt uten å tegne fortegnslinje?

Stiller også spørsmålet dette igjen, og håper på et svar før eksamen i morra.

Har en oppgave der jeg skal finne definasjonsområdet og verdimengden til:

f(x) = x/x^2+2x+1
f(x) = 1/ √ x^2-4 (Kvadratroten skal være over hele nevneren)


Har også en oppgave der jeg skal finne de globale ekstremalpunktene til:

f(x) = -x^3-6x^2+15x

(Jeg forstår veldig lite av globale ekstremalpunkt)


All hjelp tas hjertelig imot nå.

[FredrikM]

(Jeg forstår veldig lite av globale ekstremalpunkt)

Globalt ekstremalpunkt: Funksjonens største eller minste verdi på hele verdimengden. Et lokalt ekstremalpunkt er kun et sted der funksjonen har toppunkt/bunnpunkt. Eller matematisk:

For enhver [tex]\eps > 0[/tex] gjelder
[tex]f(x-\eps)< f(x) < f(x+\eps)[/tex]

Over var altså en definisjon på et lokalt toppunkt.

[mrcreosote]

For enhver [tex]\eps > 0[/tex] gjelder
[tex]f(x-\eps)< f(x) < f(x+\eps)[/tex]

Over var altså en definisjon på et lokalt toppunkt.

Dette gir lite mening, du mener nok at det fins en eps sånn at [tex]f(x)>f(x+y)[/tex] for alle y så 0<|y|<eps.

[akamond]

Hvis "definisjonsområdet?" er mellom f.eks 0 og 4 og et bunnpunkt på x=2

Vil dette være riktig da?

------------0--------2---------4--------

(negativ) (null) (positiv)
f(x)--------I---------0----------I--------

Her vil altså de globale ekstremalpunktene være. Minimal = 2 og globale = 4?


Så til det siste jeg behøver svar på:

Hvordan regner jeg ut dette?
Har en oppgave der jeg skal finne definasjonsområdet og verdimengden til:

f(x) = x/x^2+2x+1
f(x) = 1/ √ x^2-4 (Kvadratroten skal være over hele nevneren)

[FredrikM]

For enhver [tex]\eps > 0[/tex] gjelder
[tex]f(x-\eps)< f(x) < f(x+\eps)[/tex]

Over var altså en definisjon på et lokalt toppunkt.

Dette gir lite mening, du mener nok at det fins en eps sånn at [tex]f(x)>f(x+y)[/tex] for alle y så 0<|y|<eps.

Ser ut til at jeg mener det, ja - men jeg har litt problemer med å se forskjellen mellom disse to formuleringene. Vil ikke alltid min formulering gjelde når f(x) er et toppunkt?

[Markonan]

Ah, litt kjapp på avtrekkern der.

[mrcreosote]

Det er en veldig stor forskjell på at noe eksisterer et punkt som oppfyller et kriterium og at alle punkter gjør det. Du sier også at alle punkter på funksjonen x er toppunkter da x-e<x<x+e for alle e>0. Et av ulikhetstegna står altså feil vei.

[akamond]

Beklager, men skjønner ikke helt deres formuleringer. Blir for teoretisk for meg, og siden jeg har matte eksamen i morra må jeg gå for basic.

Så fint om noen kan svare meg på det jeg har skrevet her under:

Hvis "definisjonsområdet?" er mellom f.eks 0 og 4 og et bunnpunkt på x=2

Vil dette være riktig da?

------------0--------2---------4--------

(negativ) (null) (positiv)
f(x)--------I---------0----------I--------

Her vil altså de globale ekstremalpunktene være. Minimal = 2 og globale = 4?


Så til det siste jeg behøver svar på:

Hvordan regner jeg ut dette?
Har en oppgave der jeg skal finne definasjonsområdet og verdimengden til:

f(x) = x/x^2+2x+1
f(x) = 1/ √ x^2-4 (Kvadratroten skal være over hele nevneren)