2xy + x^2y' =0
vis at den er eksakt og finn løsning på implisitt form.
Deretter vis at ytan x - y' = 0 er ikke eksakt og finn intererende faktor
Differensial ligning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Antar dette betyr å løse diff. likningen på vanlig måte.Homer skrev:2xy + x^2y' =0
vis at den er eksakt og finn løsning på implisitt form.
1)
[tex]2xy\,+\,x^2y^,\,=\,0[/tex]
ordner opp og rydder etc:
[tex]2\int {{\rm dx}\over x}\,+\,\int {{\rm dy}\over y}\,=\,0[/tex]
[tex]2\ln(x)\,+\,\ln(y)\,=\,0[/tex]
[tex]\ln(y)\,=\,\ln(x^{-2})[/tex]
[tex]y(x)\,=\,y\,=\,C\cdot x^{-2}[/tex]
2)
[tex]y\tan(x)\,-\,y^,\,=\,0[/tex]
er ikke helt sikker på hva det menes med at den ikke er eksakt.
Jeg løste den på "vanlig måte" og fikk:
[tex]y(x)\,=\,y\,=\,{C\over \cos(x)}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Disse to likningene kan omskrives til
[tex](1) \;\;\; 2xy \, dx \:+\: x^2 \, dy \;=\; 0[/tex]
og
[tex](2) \;\;\; y \, \tan x \, dx \:-\: dy \;=\; 0.[/tex]
En ordinær førsteordens differensiallikning
[tex]p(x,y) \, dx \:+\: q(x,y) \, dy \;=\; 0[/tex]
sies å være eksakt hvis [symbol:diff]p/[symbol:diff]y = [symbol:diff]q/[symbol:diff]x.
I (1) er p(x,y)=2xy og q(x,y)=x[sup]2[/sup], noe som gir [symbol:diff]p/[symbol:diff]y = [symbol:diff]q/[symbol:diff]x = 2x, dvs. at (1) er eksakt.
I (2) er [tex]p(x,y) = y\tan \, x[/tex] og [tex]q(x,y) = -1[/tex] som medfører at [symbol:diff]p/[symbol:diff]y =[tex] \tan \, x[/tex] og [symbol:diff]q/[symbol:diff]x = 0. M.a.o. er (2) ikke eksakt.
[tex](1) \;\;\; 2xy \, dx \:+\: x^2 \, dy \;=\; 0[/tex]
og
[tex](2) \;\;\; y \, \tan x \, dx \:-\: dy \;=\; 0.[/tex]
En ordinær førsteordens differensiallikning
[tex]p(x,y) \, dx \:+\: q(x,y) \, dy \;=\; 0[/tex]
sies å være eksakt hvis [symbol:diff]p/[symbol:diff]y = [symbol:diff]q/[symbol:diff]x.
I (1) er p(x,y)=2xy og q(x,y)=x[sup]2[/sup], noe som gir [symbol:diff]p/[symbol:diff]y = [symbol:diff]q/[symbol:diff]x = 2x, dvs. at (1) er eksakt.
I (2) er [tex]p(x,y) = y\tan \, x[/tex] og [tex]q(x,y) = -1[/tex] som medfører at [symbol:diff]p/[symbol:diff]y =[tex] \tan \, x[/tex] og [symbol:diff]q/[symbol:diff]x = 0. M.a.o. er (2) ikke eksakt.