X og Y er uavh. rand. var.
[tex]p_X(k)=e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} [/tex]
[tex]p_Y(k)=e^{-\mu} \cdot \frac{\mu^k}{k!}[/tex]
for k=0,1,2,..
Show that the conditional pdf of X given X+Y=n is binomial with parameters n and [tex]\frac{\lambda}{\lambda + \mu}[/tex]
Vet fra før at [tex]P_{X+Y}(z) = e^{-( \lambda + \mu )} \cdot \frac{(\lambda + \mu)^z}{z!}[/tex] for z=0,1,2..
Og siden X og Y er uavh. og vi kaller Z=X+Y=n blir
[tex]P_{X|Z}(x) = \frac{P(X=x \ and \ Y=n-x)}{P(Z=n)}= \frac{P(X=x) \ \cdot \ P(Y=n-x)}{P(Z=n)}= \frac { e^{-\lambda} \ \cdot \ \lambda^x/x! \ \cdot \ e^{-\mu} \ \cdot \ \mu^{n-x}/(n-x)! }{e^{-(\lambda + \mu)} \ \cdot \ {(\lambda + \mu)}^n/n! }= \frac{n!}{x!(n-x)!} \ \cdot \ \frac{\lambda^x \ \cdot \ \mu^{n-x}}{(\lambda+\mu)^n}= {n \choose x} \ \frac{\lambda^x \ \cdot \ \mu^{n-x}}{(\lambda+\mu)^n}[/tex]
Der blir det stopp, det er ikke langt unna [tex] P(x \ suksess) \ = \ {n \choose x} \ p^x \ (1-p)^{n-x}[/tex]
Betingende ssh-tettheter
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ja, du skriver selv at du er nær ved, og det stemmer så vidt jeg kan se. Vi regner litt videre fra ditt utgangspunkt:
[tex]{n\choose x}\cdot \frac{\lambda^x\cdot\mu^{n-x}}{(\lambda+\mu)^n}={n\choose x}\cdot\frac{\lambda^x\cdot \mu^{n-x}}{(\lambda+\mu)^x\cdot(\lambda+\mu)^{n-x}}={n\choose x}\cdot \frac{\lambda^x}{(\lambda+\mu)^x}\cdot\frac{\mu^{n-x}}{(\lambda+\mu)^{n-x}}[/tex]
Siden [tex]\frac{\mu}{\lambda+\mu}=1-\frac{\lambda}{\lambda+\mu}[/tex], følger at fordelingen er binomisk med parametere [tex]n[/tex] og [tex]p=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}[/tex]
[tex]{n\choose x}\cdot \frac{\lambda^x\cdot\mu^{n-x}}{(\lambda+\mu)^n}={n\choose x}\cdot\frac{\lambda^x\cdot \mu^{n-x}}{(\lambda+\mu)^x\cdot(\lambda+\mu)^{n-x}}={n\choose x}\cdot \frac{\lambda^x}{(\lambda+\mu)^x}\cdot\frac{\mu^{n-x}}{(\lambda+\mu)^{n-x}}[/tex]
Siden [tex]\frac{\mu}{\lambda+\mu}=1-\frac{\lambda}{\lambda+\mu}[/tex], følger at fordelingen er binomisk med parametere [tex]n[/tex] og [tex]p=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}[/tex]