Momentgenererende funksjoner

[djs]

La p[sub]X[/sub](k) = 1/n for k= 0, 1, 2, .., n-1 og 0 ellers.
Vis at [tex]M_X(t) = \frac{1-e^{nt}}{n(1-e^t)}[/tex]

Generell formel sier [tex]M_W(t) = E(e^{tw}) = \sum_{all k} \ e^{tk} \cdot p_W(k)[/tex]

Dette gir da følgelig: [tex]M_X(t) = \sum_{k=0}^{n-1} \ e^{tk} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \ \sum_{k=0}^{n-1} \ e^{tk}[/tex]

Hvor det stopper.

[fish]

Du er nesten framme. Det gjenstår bare å bemerke at den siste rekka er geometrisk. Kvotienten i rekka blir


[tex]q=e^t[/tex]

Dette forklarer at [tex]\sum_{k=0}^{n-1}q^k=\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1-(e^t)^n}{1-e^t}[/tex]

og du er framme.

[djs]

Takk!