Dobbeltintegral

[thunderstone]

Beregn dobbeltintegralet: [symbol:integral] [symbol:integral] _D f(x,y)dA

f(x,y)=xy, D er begrenset av kurvene x=4-y^2 og x=3y

For å finne x-verdiene til integralet, skal jeg ikke bare finne skjæringspkt: mellom y= [symbol:plussminus] [symbol:rot] (4-x) og y=x/3?
Altså jeg setter
[symbol:plussminus] [symbol:rot] (4-x)=x/3
Men etter det kommer jeg ikke videre...

[fish]

Det er nok bedre å sette [tex]x[/tex]-uttrykkene lik hverandre:
[tex]4-y^2=3y[/tex], slik at [tex]y^2+3y-4=0[/tex] med løsninger
[tex]y_1=-4[/tex] og [tex]y_2=1[/tex]
Siden for eksempel [tex]x=3y[/tex], finner vi de to skjæringspunktene
[tex]\left(-12,-4\right)[/tex] og [tex]\left(3,1\right)[/tex]

[thunderstone]

Okey..
Men jeg klarer forsatt ikke å regne ut integralet. Noen som har noen tips å komme med her ?

[fish]

Du beskriver først området ved
[tex]3y\leq x\leq 4-y^2[/tex] og [tex]-4\leq y\leq 1[/tex]

Dobbeltintegralet du får å beregne blir derfor:

[tex]\int_{-4}^1\int_{3y}^{4-y^2}xy\;dx\;dy[/tex]

Klarer du resten da?

[thunderstone]

Jepp..takk.
men så kommer jeg til denne.

Beregn dobbeltintergalet [tex]\int_[/tex][tex]\int_D[/tex] f(x,y)=xcosy, D er området i første kvadrant begrenset av kurven y=1-x^2

Da finner jeg dobbelintegralet

[tex]\int_0^1[/tex][tex]\int_0^{1-x^2}[/tex] xcosy dy dx

Men her kunne jeg trengt noe hjelp til utregning..hadde vært meget snilt om noen kunne vist meg.
Fasit: (1-cos1)/2
På forhånd takk!

[fish]

Regningen går slik:

[tex]\int_0^1\int_0^{1-x^2} x\cos y\;dy\;dx=\int_0^1\left[x\sin y\right]_0^{1-x^2}\;dx=\int_0^1x\sin(1-x^2)\;dx[/tex]

Resten fikser du med substitusjonen [tex]u=1-x^2[/tex].