Flater

[maximus_10]

Sett opp en likning for sylinderflaten parallell med linjen L når den gitte kurven C ligger i sylinderflaten:

C: y=x^2, z=0 L: linjen x=3, y=-5

og:

Sett opp en likning for rotasjonsflaten du får når den gitte kurven C roteres om aksen L

C: y=x^2, z=0 L: z-aksen

[maximus_10]

Er det noen som har noen tips å komme md her?

[Janhaa]

Hvis jeg ikke har misforstått, har flata likninga:

[tex]f(x,y,z)=y-x^2[/tex]

[tex]\;fordi\;z=0[/tex]


Linjene x=3 og y=-5 brukes nok som grenser når der integreres. For areal (overflateareal) blir der dobbeltintegral, mens volum involverer trippelintegraler. Husker ikke helt hvordan dette utføres, ett par år sida sist.

[maximus_10]

Vi sier at to flater står normalt hverandre i et felles punkt P, dersom flatene har tangentplan i P som står normalt på hverandre. Vis at de to flatene: z=(x-1)^2+(y+1)^2 og
z^2=x(x+1)^2+y^2
står normalt på hverandre i punktet (0,-1,1)

Starter med: z=(x-1)^2+(y+1)^2
[symbol:diff] z/ [symbol:diff] x=2(x-1), og det gir [symbol:diff] z/ [symbol:diff] x(0,-1,1)=-2

[symbol:diff] z/ [symbol:diff] y=2(y+1) , og det gir [symbol:diff] z/ [symbol:diff] y(0,-1,1)=0

Finner tangentplanet:
z=1-2(x-0)=1-2x altså 1=2x+z og det gir normalvektor N=[2,0,1]

Men så kommer: z^2=x(x+1)^2+y^2..denne får jg ikke til

[Janhaa]

Er det noen som har noen tips å komme md her?

Har ikke noe mer å bidra med her:

[tex]f(x,y)\,=\,y\,-\,x^2\;\;[/tex]er en parabolsk sylinder

[Janhaa]

Vi sier at to flater står normalt hverandre i et felles punkt P, dersom flatene har tangentplan i P som står normalt på hverandre. Vis at de to flatene: z=(x-1)^2+(y+1)^2 og
z^2=x(x+1)^2+y^2
står normalt på hverandre i punktet (0,-1,1)
Starter med: z=(x-1)^2+(y+1)^2
[symbol:diff] z/ [symbol:diff] x=2(x-1), og det gir [symbol:diff] z/ [symbol:diff] x(0,-1,1)=-2
[symbol:diff] z/ [symbol:diff] y=2(y+1) , og det gir [symbol:diff] z/ [symbol:diff] y(0,-1,1)=0
Finner tangentplanet:
z=1-2(x-0)=1-2x altså 1=2x+z og det gir normalvektor N=[2,0,1]
Men så kommer: z^2=x(x+1)^2+y^2..denne får jg ikke til

Kaller første flata di Z[sub]1[/sub] , hvis normalvektor (som du selv har regna ut) er [tex]\;\vec N_1=[-2,0,1][/tex]

Finner partiell deriverte av Z[sub]2[/sub] ved først å ta kvadratrota på begge sider og bruke Z > 0:

[tex]Z_2\,=\,sqrt{x(x+1)^2\,+\,y^2}[/tex]

Så de partiell deriverte, hhv x og y:

[tex]{\partial Z_2\over \partial x}\,=\,{(x+1)^2\,+\,2x(x+1)\over 2sqrt{x(x+1)^2\,+\,y^2}[/tex]

[tex]{\partial Z_2\over \partial x}\,(0,-1,1)\,=\,{1\over 2}[/tex]

[tex]{\partial Z_2\over \partial y}\,=\,{2y\over 2sqrt{x(x+1)^2\,+\,y^2}[/tex]

[tex]{\partial Z_2\over \partial y}\,(0,-1,1)\,=\,-{1}[/tex]

Som medfører [tex]\;\vec N_2=[{1\over 2},-1,1][/tex]

Så vet vi at hvis flatene Z[sub]1[/sub] og Z[sub]2[/sub] står normalt på hverandre så er også deres normalvektorer vinkelrette.
Dvs produktet av N[sub]1[/sub] og N[sub]2[/sub] er lik null.

[tex]\vec N_1\cdot \vec N_2\,=\,[-2,0,1]\cdot [{1\over 2},-1, 1]\,=\;{-1+1\,=\,0[/tex]

Dvs flatene står normalt på hverandre i P.