Lin. vektorer

[mikael1987]

Skal finne ut om vektorsettene er lin. avhengige eller avhengige:

a) {x^2-1,x^2+1,4x,2x-3}

b) {sinx,cosx}

[mrcreosote]

a) Siden disse vektorene ligger i P_2 (vektorrommet av polynomer av grad mindre enn eller lik 2) som er av dimensjon 3, og vi har 4 elementer i settet vårt kan de ikke være lineært uavhengige. Tror jeg nevnte dette for deg for en ukes tid siden?

b)Fins konstanter a og b så a*sin x+b*cos x = 0 (for alle x)? I så fall er settet lineært avhengig, i motsatt fall ikke.

[mikael1987]

Yes, jeg skjønner det nå..takk skal du ha.
Men det er en oppg. jeg sliter skikkelig med her.
Skal bestemme om

{sinx,sin2x,sin3x}

er av -eller uavhengige.

Det er et eks. i boken der de derivere en lignende funksjon..så setter de inn forskjellige verdier..hvorfor kan du derivere og så finne ut om vektorene er lin. av -eller uavhengige?

[dischler]

sjekk først om [tex]\sin(x)[/tex] og [tex]\sin(2x)[/tex] er lineært avhengige altså om:
[tex]\sin(2x) = a \sin(x)[/tex]

noe som åpenbart er feil ettersom det gir (bruk relevant trigonemtrisk formel):

[tex]2\cos(x)=a[/tex]

så sjekker du om [tex]\sin(3x)[/tex] kan skrives som en lineær sum av de to andre, altså om

[tex]\sin(3x)=a\sin(2x)+b\sin(x)[/tex]

Med litt utregning så får jeg at det gir

[tex]b=\cos(2x)-2a\cos(x)[/tex]

noe som beviser uavhengighet (kan sjekkes ved f.eks å sette inn x=0, [tex]x=\pi/2[/tex] og [tex]x=\pi[/tex], og løse ligninger for a og b)

[Magnus]

Kan man ikke bruke Wronskian da?

[dischler]

jo, det vil jeg tro. Prøvde ikke det. Bare å sette igang og regne det