Krumning....

[maximus_10]

La C være kurven:

r(t)=[1/3t^3,(1/2 [symbol:rot] 2)t^2,t]

Skal finne krumningen til C i et vilkårlig pukt på C...
Finner v(t)=[t^2,( [symbol:rot] 2)t,1] og
a(t)=[2t, [symbol:rot] 2,0]

Bruker formelen K(t)=(|a(t)*v(t)|)/|v(t)|^3...der *=vektorpoduktet..
men jeg roter det til med absoluttegnene..noen som kan hjelpe??

[mrcreosote]

Det ser ut som du har derivert den andre koordinaten feil på vei til a(t). Absolutt-tegna er ikke så skumle; over brøkstreken er det bare absoluttverdien du tar. |v(t)| = lengden av v(t): |[a,b,c]|=sqrt(a^2+b^2+c^2).

Uten at jeg har peil på hva du snakker om får jeg raskt og gæli [tex]K(t) = \frac{|\frac12 t(4t^2+1)|}{(t^4+\frac12 t^2+1)^{\frac32}}[/tex], du kan jo se om du havner på det samme.

[Magnus]

Lærer dere ikke om krumning og slikt i flerdim. på UiO?

[Janhaa]

Forresten siden det er snakk om krumning, så regna jeg også fort og gæli gjennom oppgava di.

Ettter endel klundring med derivering, determinant etc fikk jeg

[tex]K(t)={|\vec a\, x\, \vec v| \over |\vec v|^3}\;=\;[/tex][tex]sqrt{2}\over (t^2+1)^2[/tex]

stemmer d med fasit - mon tro?

[mrcreosote]

Joda, har vel hatt et kurs i det. På den annen side kan jeg ikke så mye om bibelen sjøl om jeg har hatt kristendom.

Vektorprodukt ja, ikke prikking, så forkast mitt svar og hold deg til Janhaa sitt.

[TurboN]

Når vi snakker om kurvatur er det naturlig å ha et par begreper på plass. Vi har en Tangentvektor, som vil være en enhetsvektor med samme retning som hastigheten. Farten som T snur på pr lengdenhet er det samme som kurvaturen til en kurve

[tex]k=\left|{\frac{dT}{ds}}\right|[/tex]

[tex]k=\left|{\frac{dT*dt}{dt*ds}}\right|[/tex]

[tex]k=\left|{\frac{1}{ds\over dt}}\right|*\left|{\frac{dT}{dt}}\right|[/tex]

[tex]k=\left|{\frac{1}{v}}\right|*\left|{\frac{dT}{dt}}\right|[/tex]

Cluet ligger i endringen i tangentvektoren pr lengdeenhet, er den stor vil du følgelig på en stor kurvatur, men har du liten endring vil det være mindre kurvatur eller "krumning" om du vil.

r(t)=[1/3t^3,(1/2 √ 2)t^2,t]

[tex]r(t)={1\over 3}*t^3i+{\sqrt{2}\over 2}t^2j+tk[/tex]

[tex]v(t)=t^2i+\sqrt{2}tj+k[/tex]

[tex]\left|v\right|=\sqrt{(t^2)^2+(\sqrt{2}t)^2+1^2}[/tex]

[tex]\left|v\right|=\sqrt{(t^2+1)^2}=t^2+1[/tex]

[tex]T=\frac{v(t)}{\left|v\right|}[/tex]

osvv.... klokka er mye

[Janhaa]

Ja, det er flere veier til Rom. Når det gjelder krumning,[tex]\;\kappa(t)\;[/tex]tror jeg den kan uttrykkes på 4, 5 måter, avhengig av formen funksjonen er på:

To måter er nevt over, en med vektorer og den andre med deriverte av enhets-tangentvektor,[tex]\;dT[/tex].

3)
y = f(x) gir krumninga,

[tex]\;\kappa(x)\;={|y^{,,}| \over (1+(y^,)^2)^{3/2}[/tex]


4)
For parametriserte kurver, x = x(t) og y = y(t) gjelder

[tex]\kappa (t)={{|\dot x \cdot \ddot y- \ddot x \cdot \dot y|}\over |\vec v|^3}[/tex]

der[tex]\;|\vec v|^3=(sqrt{\dot x^2+ \dot y^2})^3[/tex]

[Cauchy]

Nå kan man se på 3) som bare et spesialttilfelle av 4), hvor man har valgt x som parameter.

Dessuten gjelder de formlene kun i 2 dimensjoner. 4) kan derimot generaliseres til 3D:

[tex]\kappa=\frac{|\mathbb{a}\times\mathbb{v}|}{|\mathbb{v}|^3}[/tex]

tror jeg det var.

[maximus_10]

Forresten siden det er snakk om krumning, så regna jeg også fort og gæli gjennom oppgava di.

Ettter endel klundring med derivering, determinant etc fikk jeg

[tex]K(t)={|\vec a\, x\, \vec v| \over |\vec v|^3}\;=\;[/tex][tex]sqrt{2}\over (t^2+1)^2[/tex]

stemmer d med fasit - mon tro?

Jepp!!! Det stemmer..
Men når jeg finner determinaten:
|axv|=[ [symbol:rot] 2,2t,( [symbol:rot] 2)t^2]..så klarer jeg ikke å regne videre med disse absoluttegnene..noen vise mg?

[Magnus]

Du skal jo bare bestemme lengden av vektoren da:

[tex]\sqrt {2 + 4t^2 + 2t^4} = \sqrt {2}\cdot \sqrt{t^4 + 2t^2 + 1} = \sqrt {2}\cdot\sqrt {(t^2 + 1)^2} = \sqrt {2}(t^2 + 1)[/tex]