Lineæravbildning og matriser

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
motown11

Sitter her og sliter med å komme i gang med en oppgave til en oblig (Mat1110, UiO).
Var ikke tilstede på forelesningen når dette ble gått i gjennom og lærerboken gir meg ingenting (FLVA, Tom Lindstrøm og Klara Hveberg).

Oppgaven er som følger: Bilde

Litt pinlig, men det første jeg ikke skjønner er faktisk T(2,1). Er Tx=T*(2,1), eller er T(2,1) ment som at T er en funksjon der (2,1) er variablene ala T(x,y)=T(2,1). Det jeg tenkte som fremgangsmåte er å få satt opp T som en slags ligning, der (2,1) og (1,1) er forskjellige variabler som gir meg den riktige T-"ligningen", og deretter kan jeg finne matrisen A? Det jeg lurer på er om det egentlig skulle stått T(x)=Ax i oppgave a. Hadde vært fint med noen stikkord på hvilke teknikker jeg skal bruke (basiser etc.).
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

motown11 skrev:Sitter her og sliter med å komme i gang med en oppgave til en oblig (Mat1110, UiO).
Var ikke tilstede på forelesningen når dette ble gått i gjennom og lærerboken gir meg ingenting (FLVA, Tom Lindstrøm og Klara Hveberg).

Oppgaven er som følger: Bilde

Litt pinlig, men det første jeg ikke skjønner er faktisk T(2,1). Er Tx=T*(2,1), eller er T(2,1) ment som at T er en funksjon der (2,1) er variablene ala T(x,y)=T(2,1). Det jeg tenkte som fremgangsmåte er å få satt opp T som en slags ligning, der (2,1) og (1,1) er forskjellige variabler som gir meg den riktige T-"ligningen", og deretter kan jeg finne matrisen A? Det jeg lurer på er om det egentlig skulle stått T(x)=Ax i oppgave a. Hadde vært fint med noen stikkord på hvilke teknikker jeg skal bruke (basiser etc.).
$T$ er en lineær avbilding fra $\mathbb{R}^2$ til $\mathbb{R}^2$, det vil si en lineær funksjon mellom disse vektorrommene. Notasjonen $T\begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}$ har nøyaktig samme betydning som den velkjente $f(x)$, der $f$ er en funksjon og $x$ er et gitt element i definisjonsmengden til $f$.

Vi har også følgende resultat (regner med at det finnes et bevis i boken din):

La $T: V \rightarrow W$ være en lineær avbilding mellom to vektorrom $V$ og $W$ av respektive dimensjoner $n$ og $m$. La $\mathcal{B} = \{v_1, \dots v_n\}$ være en basis for $V$ og la $\mathcal{E} = \{w_1, \dots w_m\}$ være en basis for $W$. For $x \in V$, la $x_{\mathcal{B}}$ være koordinatvektoren til $x$ med hensyn på basisen $\mathcal{B}$. Definer $m$ x $n$-matrisen $A = \left(a_{ij}\right)$ ved $Tv_i = \sum_{k=1}^{m}a_{ki}w_k$. Da er $Ax_{\mathcal{B}} = \left( Tx\right)_{\mathcal{E}}$ for alle $x \in V$.

Så det er en $1-1$-korrespondanse mellom slike lineære transformasjoner og $m$ x $n$-matriser. Vi ønsker å finne matrisen $A$ som korresponderer til den gitte lineære avbildingen $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$.

Vi vet at

$\displaystyle T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = T\left( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = T\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} - T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} = -3\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$,

$\displaystyle T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = T\left(2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = 2T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - T\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} =2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$,

så $A$ er gitt ved $$A = \begin{pmatrix} - 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
zaz

Har du mulighet til å henvise til noen bøker/kilder om akkurat dette temaet? Jeg finner svært lite om dette i pensumet og finner heller ikke en forståelig forklaring på nettet...
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

zaz skrev:Har du mulighet til å henvise til noen bøker/kilder om akkurat dette temaet? Jeg finner svært lite om dette i pensumet og finner heller ikke en forståelig forklaring på nettet...
Både T. S. Blyth & E. F. Robertson, Basic Linear Algebra (Springer, London, 1998) og
R. Kaye and R. Wilson, Linear Algebra (OUP, 1998) er gode kilder til en abstrakt/teoretisk tilnærming til faget.

En mer praktisk tilnærming gis i Gilbert Strangs forelesninger: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics ... fall-2011/
Han har også skrevet en bok om elementær lineær algebra: http://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/
Jeg har ikke lest denne boken, men vil anta den følger kurset hans godt. Jeg fant i alle fall forelesningene hans givende da jeg skulle gjennom dette stoffet!
Svar