Parametrisering motsatt vei?

[Johan Nes]

Hei,

Er det en generell formell eller metodikk man kan bruke for å finne parametrisering av en kurve motsatt vei?

Jeg har fått til dette ved veldig enkle uttrykk (omformer den opprinnelige parametriseringen), men sliter med litt vanskeligere.

Eksempel:

Bestem en parameterframstilling for kurven C når C er den rette linja fra punktet (1,2) til punktet (3,5).

Løsning:

Fant denne ved å regne ut stigningstall og så sette inn i likningen for en linje y = ax+b. Man kan vel også bruke ettpunktsformelen direkte.

Kom da til likning for linjen y = 1,5x + 0,5

Som parametrisert blir

x(t)=t

y(t)=1,5t + 0,5

1<t<3.


Oppgave 2:

Parametriser den samme kurven, men slik at den gjennomløpes motsatt vei.

Altså at man starter i (3,5) og går mot (1,2) ved økende t-verdier.

Hvordan går man fram her?

Tar man utgangspunkt i parameterframstillingen man alt fant eller starter man fra scratch? Har en fasit, men forstår ikke helt hva som skjer. Ser ut som han bruker ettpunktsformelen, men er ikke helt med på notene.

På forhånd takk!

[Aleks855]

La $x_r(t) = x(a+b-t)$ og $y_r(t) = y(a+b-t)$

Der $a=1, \ b=3$

Legg merke til at for $t=1$ så vil disse funksjonene starte i sluttpunktet til din første parametrisering, og når $t$ øker, så vil de gå nedover mot startpunktet.

Vi har essensielt bare bytta ut $t$ med $a+b-t$ for å oppnå dette.

[Johan Nes]

Hjertelig, Aleks!

Er på farten nå, så får ikke regnet på det før i kveld.

Er dette en generell formel eller fremgangsmåte man kan bruke for hver slik oppgave?

Er a og b verdiene x-verdier for henholdsvis sluttpunkt og startpunkt?

[Aleks855]

Ja, dette er en generell formel for reversering av parameterfremstillinga.

Og ja, beklager. $a, b$ er henholdsvis $t$-verdiene i start- og sluttpunktet.

[Johan Nes]

Ok. Takker!

Skal få regnet over i morgen tidlig. Rapporterer tilbake.

[Johan Nes]

Kom dessverre ikke i mål. Lyst å vise?

Legger også ved bilde av fasit. Ser ut som ettpunktsformelen, men skjønner ikke helt.

Generelt spørsmål:

Er det vanlige i slike oppgaver å først finne fremstillingen "rett" vei og så snu den etterpå? Eller kan man finne en som går "feil" vei direkte?

Takk igjen.

[Johan Nes]

Fasit.

[Aleks855]

Det ser ut til å funke. Start- og sluttpunktet er byttet om.

Er det vanlige i slike oppgaver å først finne fremstillingen "rett" vei og så snu den etterpå?

Nei, du kunne jo godt bare funnet parameterfremstillinga for linja som går fra (3,5) til (1,2) med en gang. Det er jo samme prosess. Men har du først funnet den motsatte, så er vel dette lettere.

[Gjest]

Takker, Aleks.

Jeg er delvis med. Skjønte vel ikke helt hvordan du fikk [tex]x(4-t)=4-t[/tex]

Skjønner ellers du eller noen andre hva fasit som jeg la frem gjorde? Har forsøkt å komme i kontakt med læreren min uten hell, men treffer han i løpet av uken om ikke.

Har en lignende oppgave for en vektorfunksjon i tre variabler. Der sier fasit bare "Bruk fremgangsmåten fra a)".

Men mulig jeg kan bruk din generelle formel for også denne?

Johan Nes

[Gjest]

Glemte å logge inn, så kan ikke redigere.

Men vedr. mitt første spørsmål, så er det vel kanskje fordi du setter x = 1?

[Aleks855]

Takker, Aleks.

Jeg er delvis med. Skjønte vel ikke helt hvordan du fikk [tex]x(4-t)=4-t[/tex]

Dersom $x(t) = t$ så vil $x(\text{whatever}) = \text{whatever}$, så $x(4-t) = 4-t$.

$4$ kommer fra $a+b = 1+3 = 4$.

[Johan Nes]

Takker og bukker, Aleks!