Sekantsetningen

[Andreas345]

Satt fast med 2 oppgaver.

La [tex]f[/tex] være en deriverbar funksjon på et intervall I, som er slik at [tex]f\prime(x)\cancel{=}1[/tex], for alle
[tex]x \in I[/tex]. Vis at [tex]f[/tex] da har maksimalt ett fikspunkt i I

Jeg vet selvfølgelig at ettersom funksjonen er deriverbar er den også kontinuerlig, men jeg vet ikke helt hva det vil si at [tex]f\prime(x)\cancel{=}1[/tex]

og

La [tex]f[/tex]være en deriverbar funksjon på et åpent intervall [tex](x_1,x_2)[/tex], der [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex] er reelle tall slik at [tex]x_1<x_2[/tex]. Vis at dersom den deriverte [tex]f\prime[/tex] er begrenset på [tex](x_1,x_2)[/tex] er [tex]f[/tex] det også.

Begynte da med at ved sekantsetningen må det eksistere en [tex]c\in (x_1,x_2)[/tex] slik at

[tex]\frac {f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f\prime (c) \Rightarrow f(x_2)-f(x_1)=f\prime (c) \cdot (x_2-x_1)[/tex]

[tex]\Rightarrow ||(x_2)-f(x_1)|=|f\prime (c)| \cdot |x_2-x_1|[/tex]

Vet at en funksjon er begrenset vis det finnes et tall [tex]M[/tex], som er slik at

[tex]|f(x)|\leq M[/tex], så jeg prøvde å komme fram til dette ved å

bruke trekantulikheten, men følte ikkje at jeg kom noen vei.

Tips og hint ønskes velkommen.

Mvh Andreas.

[Gustav]

I første oppgave:

Hvis f har fikspunkt i a og b vil jo den deriverte på et eller annet sted mellom a og b være lik (f(b)-f(a))/(b-a)=(b-a)/(b-a)=1.

[Gustav]

På den andre tror jeg du kan bruke bevis ved motsigelse.

La den deriverte være begrenset av M, og anta at f er ubegrenset. Utled en motsigelse ut fra denne antagelsen ved bruk av sekantsetningen og egenskaper til ubegrensede funksjoner.

[Andreas345]

Fikk til den første nå Takker Skal jobbe videre med toeren..i'll be back.

[fresol]

Mat111 oblig ser jeg:P, du er på rett vei. Skal prøve og forklare det, men kan ikke disse kodene. Du er nesten helt i mål med oppgave b) husk at når at f' er begrenset så er |f'| </= M
så er |sekantsetningen| </= M
i sekant setningen har du et utrykk for f(x), du løser opp |sekantsetningen| </= M med vanlig ganging og trekantulikheten på slutten så sitter du igjen med |f(x)| </= ......* M </K ( de prikkene er det du har løst over).

|f(x)| </=K , altså er f også begrenset. (men ikke av samme konstant som f')

Håper du skjønte noe av dette:P hvis ikke kan jeg bare scanne oppgavene og sende den til deg. ble litt rotete og skrive det uten code følte jeg

[Andreas345]

Hadde allerede fått den til Men takk som byr.

[fresol]

Hadde allerede fått den til Men takk som byr.

nice, fikk du samme svar?
btw, har du gjort 3a3) har denne en invers?

f(x) =(3x^2- 1)/x D(f) = (-inf, 0), (0,inf)
Tegner jeg den opp så ser jeg jo at den ikke har det, men f' > 1 for D(f). Altså stigende på hele D(f).
Men hvordan forklarer jeg at den ikke har en invers, kan jo ikke bare skrive at det ser jeg lett.

[Andreas345]

Ja, det fekk eg.

Jeg sjekket om [tex]f(x_1)=f(x_2)[/tex]

og ettersom [tex]x_1\cancel{=}x_2[/tex] kan den heller ikke ha en invers funksjon.

[fresol]

Ja, det fekk eg.

Jeg sjekket om [tex]f(x_1)=f(x_2)[/tex]

og ettersom [tex]x_1\cancel{=}x_2[/tex] kan den heller ikke ha en invers funksjon.

ahh, selvfølgelig:P Da var obligen i boks;) hva går du på?

[Andreas345]

Ptek 1. året. Enn der?

[fresol]

samme:P ptek f.året

[Andreas345]

hehe..må gå i den andre ptek klassen du da

[fresol]

Går i klasse R, regnet med at det var en hel drøss med klasser jeg:P er jo 120 som tar ptek100. Hvilken går du i?

fikk du til øving 4 foresten?
Skjønte ikke hvilke formler man skulle bruke på oppgave 2 var ikke på skolen den fredagen. Prøvde å se etter i prossesboka men vant ikke noen lignende eksempler. har du noen tips?

[Andreas345]

Går i klasse Q, men dette ble litt for off-topic til at det egner seg til å bli diskutert her. Legg meg til på msn, adressen finner du på profilen min. (Og ja, fikk til øvingen).