hjelp meg

[janneamble]

funksjonen g er gitt ved:

g ( x ) = 1/3x^3 + x^2 + x

a) finn nullpunktet til g.

b) tegn fortegnslinjen til g og av gjør om g har bunn og topp punkter.

c) finn vendepunktet til g.

[sEirik]

[tex]g(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x[/tex]

[tex]g(x) = x(\frac{1}{3}x^2 + x + 1)[/tex]

[tex]\frac{1}{3}x^2 + x + 1[/tex] har ingen reelle nullpunkter, uttrykket er alltid positivt. Altså er det eneste nullpunktet i g(x) der x = 0.

Fortegnsskjema; x er negativ for x < 0, null for x = 0, positiv for x > 0. (Det sier jo seg selv.) [tex]\frac{1}{3}x^2 + x + 1[/tex] er alltid positivt, fordi andregradskoeffisienten er positiv og uttrykket ikke har noen nullpunkter.
Altså har g(x) samme fortegn som x.

For å avgjøre om funksjonen har bunn- eller toppunkter skal vi derivere den:
[tex]g^,(x) = x^2 + 2x + 1[/tex]
Den deriverte er null for x = -1. For å finne ut om dette er et toppunkt eller et bunnpunkt, må vi sjekke fortegnsskjemaet til [tex]g^,(x)[/tex].

[tex]g^,(x) = (x+1)^2[/tex]

Et kvadrert uttrykk er alltid positivt (eller null). Derfor vet vi at den deriverte alltid er positiv eller lik null. Det betyr at punktet i x = -1 ikke kan være et topp- eller bunnpunkt. Da er det et vendepunkt.

[Janhaa]

funksjonen g er gitt ved:

g ( x ) = 1/3x^3 + x^2 + x

a) finn nullpunktet til g.

b) tegn fortegnslinjen til g og av gjør om g har bunn og topp punkter.

c) finn vendepunktet til g.

[tex]g(x)[/tex][tex]=(1/3)x^3 + x^2 +x[/tex]

a) g(x) = 0

for x = 0


b) Altså g(x) = 0 for x = 0, og g(x) < 0 for x < 0 og g(x) >0 for x > 0

videre er g ' (x) = x[sup]2[/sup] +2x + 1 = (x + 1)[sup]2[/sup]

g ' (x) = 0

for x = -1 og
g(-1) = -1/3

men dette er ikke max/min pkt.

c)

g '' (x) = 2x + 2 = 0

x = -1
er x-koordinatens vendepkt

Dvs vendepkt. er (-1, g(-1)) = (-1, -1/3)