matematikk.net

Denne kom på mail her om dagen:

"Heisann - håper dere kan hjelpe meg litt med et mattestykke.

Jeg har en liggende,sylindrisk bensintank i båten min - uten tankmåler. Jeg tenkte å lage en peilepinne og merke av 5 liter/10 liter osv (uten å tømme tanken først for så å fylle opp liter for liter og merke av på pinnen). Hadde tanken stått oppreist ville jo alt vært enklere.

Som siv ing burde jeg jo ha visst dette, men ting går i glemmeboka. Jeg må finne et uttrykk for formelen til sirkelen som sidene i sylinderen danner, integrere dette og så gange opp med lengden av sylinderen. Tror jeg iallefall..

Målene for tanken, radius av sidene 21 cm, lengden av tanken 70 cm. Jeg trenger hjelp til å finne en formel som sier meg volumet i tanken når peilepinnen er våt f.eks 13 cm opp fra bunnen."

Nå har dere muligheten til å belære en sivIng

Noen som tar saken? (jeg tror en lignende oppgave har blitt løst her før)

MVH
KM

hm..

Hvis du deler den i to loddrett gjennom sentrum, og lager en formel for arealet av tverrsnittet. Det vil da være en del av en halvsirkel. integrer fra -R til (-R+h), der R er radien på tanken, h er høyden bensinen står i tanken.

[sub]-R[/sub] [itgl][/itgl][sup]-R+h[/sup][rot][/rot](R[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup]) dx

Dette blir arealet av halve tverrsnittet, altså blir hele volumet:
V(h) = 2L[sub]-R[/sub][itgl][/itgl][sup]-R+h[/sup][rot][/rot](R[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup]) dx
der L er lengen av tanken, R er tankens radius, h er hvor høyt bensinen står (0<h<2R), V(h) er volumet av bensinen.

Tror det skal fungere.. men har ikke sjekket så nøye så fint om noen sjekker om det stemmer.


edit: fikset litt småfeil

Grensebetingelsene stemmer for denne metoden, men jeg er litt usikker på om den er riktig.

Tegn en sirkel med origo i et xy-koordinatsystem. La konstant x = R-h være væskeoverflaten i tanken, slik at væsken ligger i området begrenset av sirkelen med radius R og x = R-h. Ser vi på et lite flateelement i dette området, så er den lik dA = r*dr*d§ der r er avstanden fra origo til dette elementet, og § er lik vinkelen mellom x-aksen og r. Ser først på 1.kvadrant og h < R

Har (R-h)/cos§ < r < R og 0 < § < §'

Har satt §' = arccos(1 - h/R) for lettere regning.

A = 2 * [itgl]dA[/itgl] = 2 * [itgl]r*dr*d§[/itgl], integrere mhp r først

A = [itgl](R[sup]2[/sup] - [(R-h)/cos§][sup]2[/sup])d§[/itgl]

A = R[sup]2[/sup]§' - (R-h)[sup]2[/sup]tan§'

Dvs at volumet er, når en leser av h på peilepinnen:

(*) V = LR[sup]2[/sup]§' - L(R-h)[sup]2[/sup]tan§'

der L er lengden av tanken, §' = arccos(1 - h/R) og h < R

Da er vi nesten halvveis.

Hvis h = R har vi V = 0.5[pi][/pi]R[sup]2[/sup]L

For h > R gjør vi et lite triks:
sett 2R = h + H slik at H blir avstanden fra væskeoverflaten til toppen av tanken. Ved figurbetraktninger og ved å benytte ligning (*) finner vi at:

V = [pi][/pi]R[sup]2[/sup]L - LR[sup]2[/sup]§' + (R-H)[sup]2[/sup]tan§'

Vi setter nå tilbake h = 2R - h og får

(**) V = R[sup]2[/sup]L([pi][/pi] - §') + L(h-R)[sup]2[/sup]tan§'

der §' = arccos(1 - H/R) = arccos(h/R - 1).

Altså ligning (*) brukes for h < R og ligning (**) brukes for h > R. For h = R brukes ingen av ligningene da tan(Pi/2) ikke er definert. Da brukes det at volumet er 0.5*[pi][/pi]R[sup]2[/sup]L

h = 0 --> §' = 0 --> V = 0

h = 2R --> §' = 0 --> V = [pi][/pi]R[sup]2[/sup]L

Tror begge metodene er riktige. Jeg kan sette opp en tabell med høyder og tilhørende bensinvolum som er regnet ut med den funksjonen jeg kom frem til, så kan vi se om vi har det samme...

Bensinhøyde(cm)-------Volum av bensin (liter)
00------------------------ 0.000000000
02------------------------ 1.686176085
04------------------------ 4.698254384
06------------------------ 8.498434054
08------------------------ 12.87574418
10------------------------ 17.69714904
12------------------------ 22.86440912
14------------------------ 28.29821218
16------------------------ 33.93057712
18------------------------ 39.70057512
20------------------------ 45.55159410
22------------------------ 51.42937112
24------------------------ 57.28039008
26------------------------ 63.05038810
28------------------------ 68.68275304
30------------------------ 74.11655610
32------------------------ 79.28381620
34------------------------ 84.10522104
36------------------------ 88.48253116
38------------------------ 92.28271082
40------------------------ 95.29478912
42------------------------ 96.98096522

Hvis eieren av bensintanken er interessert i nøyaktige mål for hvor han/hun skal sette merke på målepinnen for f eks 5 liter, 10 liter osv kan jeg ta med det og. Just ask

Jepp, får samme verdier...

Får samme svar som dere jeg også 8)
Det enkleste uttrykket jeg fant for volumet som funksjon av høyden er:

Med x = (h - R)/R
V(h) = L*R[sup]2[/sup]*( arcsin(x) + x[rot][/rot](1 - x[sup]2[/sup]) + [pi][/pi]/2)
(dette er gyldig også i begge grensetilfellene h=0 og h=2R)

Eller skrevet helt ut:
V(h) = L*R[sup]2[/sup]*( arcsin((h - R)/R) + (h - R)/R[rot][/rot](1 - (h - R)/R[sup]2[/sup]) + [pi][/pi]/2)

Dette finner man ved å regne ut integralet bernoulli skrev opp over.
Formelen gir samme tabell:
------------------------------------
h --> V(h)
0cm --> 0 l
2cm --> 1.68618 l
4cm --> 4.69825 l
6cm --> 8.49843 l
8cm --> 12.8757 l
10cm --> 17.6971 l
12cm --> 22.8644 l
14cm --> 28.2982 l
16cm --> 33.9306 l
18cm --> 39.7006 l
20cm --> 45.5516 l
22cm --> 51.4294 l
24cm --> 57.2804 l
26cm --> 63.0504 l
28cm --> 68.6828 l
30cm --> 74.1166 l
32cm --> 79.2838 l
34cm --> 84.1052 l
36cm --> 88.4825 l
38cm --> 92.2827 l
40cm --> 95.2948 l
42cm --> 96.981 l
---------------------------------

oro2: Etter den forrige tråden vi diskuterte integralet av sirkelen, kom jeg over en enklere substitusjon:
[itgl][/itgl][rot][/rot](1[sup][/sup] - x[sup]2[/sup])dx
Substituer: x = sin(t)

Da kommer resultatet på enkleste form også (enklere enn begge uttrykkene i den nevnte tråden):
2*[itgl][/itgl](r² - x²) dx = r[sup]2[/sup](arcsin(x/r) + (x/r)[rot][/rot](1-x[sup]2[/sup])), som jeg benyttet for å finne volumet av tanken...

Som vi ser ga regning for hånd her et enklere svar en Maple

Bernoulli skrev: V = R[sup]2[/sup]L([pi][/pi] - §') + L(h-R)[sup]2[/sup]tan§'

der §' = arccos(1 - H/R) = arccos(h/R - 1).

Denne formelen kan f.eks. forenkles ved følgende:

tan(arccos x) = [rot][/rot](1 - x[sup]2[/sup]) / x

Dette ser en lett ved å la arccos(x) = t, som betyr at cos(t) = x, og videre at tan(t) = sin(t)/cos(t) = [rot][/rot](1 - cos[sup]2[/sup]t) / cos t

Hei

Er det mulig at dere kan skrive formelen dere kommer frem til i "klartekst" - ikke alle som er matematikknerder

På forhånd takk !