Har en oppgave jeg står helt fast på. Har selvsagt forsøkt å tegne tegning, men vet ikke om jeg forstår situasjonen riktig. Noen som har noen tanker? Til info er dette fra et kapittel om implisitt derivasjon koblede hastigheter, men er veldig nysgjerrig på hvordan man kan gjøre denne koblingen. Oppgaven:
Du befinner deg på en åpen slette 72,0 m unna en rettlinjet elv. Du står nå 136,0 m unna teltet ditt, som du har satt opp 8,0 m fra elva (på samme side som du selv står). Før du går tilbake til teltet, vil du fylle opp vannflaska i elva. Hvilket punkt på elva bør du gå til for at den totale turen til teltet skal bli kortest mulig?
Geometri/implisitt derivasjon?
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Mattebruker
- Weierstrass
- Innlegg: 474
- Registrert: 26/02-2021 21:28
Interessant oppgave ! Problemet kan løysast ved optimering. Men denne reknemåten krev relativt mykje reknearbeid. Ein figuranalyse gir ei enklare løysing:
Forslag: La P og Q vere posisjonen til telt og teltbuar høvesvis. La vidare T vere det punktet på elvebreidda som gir det kortaste vegstykket tilbake til teltet
Problemet blir dermed å minimere vegstykket QT + TP.
Sett at normalen frå P ned på elvebreidda treffer denne i punktet R , medan normalen frå Q treffer elvebreidda i punktet S. La så Q' vere speglbildet av Q slik at SQ' = SQ . Da ser vi at QT + TP = Q'T + TP . Den kortaste avstanden mellom P og Q' er lik det rette linjestykket PQ'. Da står det berre att å finne linjestykket RT ( evt. linjestykket PT ). Hint: Sett RT = x meter og samanlikne formlike trekantar ( [tex]\bigtriangleup[/tex]PRT og [tex]\bigtriangleup[/tex]Q'ST.
Forslag: La P og Q vere posisjonen til telt og teltbuar høvesvis. La vidare T vere det punktet på elvebreidda som gir det kortaste vegstykket tilbake til teltet
Problemet blir dermed å minimere vegstykket QT + TP.
Sett at normalen frå P ned på elvebreidda treffer denne i punktet R , medan normalen frå Q treffer elvebreidda i punktet S. La så Q' vere speglbildet av Q slik at SQ' = SQ . Da ser vi at QT + TP = Q'T + TP . Den kortaste avstanden mellom P og Q' er lik det rette linjestykket PQ'. Da står det berre att å finne linjestykket RT ( evt. linjestykket PT ). Hint: Sett RT = x meter og samanlikne formlike trekantar ( [tex]\bigtriangleup[/tex]PRT og [tex]\bigtriangleup[/tex]Q'ST.
Hvis vi trekker en rett linje fra der du står, loddrett på elvelinjen og en rett linje fra teltets posisjon til elvelinjen, ser vi at avstanden mellom disse linjene er $ \sqrt{136^2 - (72 - 8)^2} = 120$. Kall avstanden fra punktet hvor feltflasken fylles til der hvor den loddrette linjen fra teltet treffer elvelinjen for $x$. Gangavstanden via elven til teltet, $A(x)$, blir da:
$A(x) = \sqrt{72^2 + (120 - x)^2} + \sqrt{x^2 + 8^2}\,.$ Finn så den x-verdi som gir $A´(x) = 0$.
Dette involverer å løse en likning av grad 2 med litt store koeffisienter, men CAS eller en lommeregner er til god hjelp.
En mer elegant metode som involverer en symmetribetraktning, er å speile teltets posisjon med hensyn til elvelinjen, altså å fokusere på punktet som ligger like langt fra elven som teltet, men på den motsatte siden. Trekk så en rett linje fra der du står til dette punktet. Denne rette linjen må være den korteste vei til dette speilingspunktet, og punktet der linjen krysser elvelinjen (vi abstraherer fra at elven har en bredde), vil være det punktet der vi bør fylle feltflasken for å minimere gangavstanden til teltet. $x$ finnes ved å se at vi får to formlike trekanter, og vi danner likningen
$\frac{120 -x}{x} = \frac{72}{8} = 9 => x = 12$
$A(x) = \sqrt{72^2 + (120 - x)^2} + \sqrt{x^2 + 8^2}\,.$ Finn så den x-verdi som gir $A´(x) = 0$.
Dette involverer å løse en likning av grad 2 med litt store koeffisienter, men CAS eller en lommeregner er til god hjelp.
En mer elegant metode som involverer en symmetribetraktning, er å speile teltets posisjon med hensyn til elvelinjen, altså å fokusere på punktet som ligger like langt fra elven som teltet, men på den motsatte siden. Trekk så en rett linje fra der du står til dette punktet. Denne rette linjen må være den korteste vei til dette speilingspunktet, og punktet der linjen krysser elvelinjen (vi abstraherer fra at elven har en bredde), vil være det punktet der vi bør fylle feltflasken for å minimere gangavstanden til teltet. $x$ finnes ved å se at vi får to formlike trekanter, og vi danner likningen
$\frac{120 -x}{x} = \frac{72}{8} = 9 => x = 12$