Ulikheter

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Ruben99
Noether
Noether
Innlegg: 27
Registrert: 05/12-2017 21:23

La n være et oddetall og n > 3
Bevis at n^2 - 1 er delelig med 8.

Jeg er usikker hvordan jeg utfører denne oppgaven og jeg lurte på om det var noen som kan dette.
Jeg vet jeg skal begynne med å la n være et oddetall: n= 2k+1 men mer vet jeg ikke
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

La $n=2k+1$, da er

$n^2-1 = (2k+1)^2-1 = (4k^2 + 4k + 1) -1 = 4k^2+4k = 4k(k-1)$

Observer at $(k-1)$ og $k$ er to etterfølgende tall, altså hvis f.eks $k=4$, hadde $k-1=3$. Siden tallene veksler mellom å være oddetall og partall for annenhvert tall, vi altså alltid $(k-1)$ eller $k$ være et partall. I alle partall er $2$ en faktor, og siden $4$ allerede er en faktor i uttrykket, vil da $4 \cdot 2 = 8$ alltid være en faktor. Derfor vil uttrykket alltid være delelelig på $8$.

Forresten, så må ikke $n>3$, for $3^2-1=8$, som selvfølgelig er delelig på $8$.
Ruben99
Noether
Noether
Innlegg: 27
Registrert: 05/12-2017 21:23

Markus skrev:La $n=2k+1$, da er

$n^2-1 = (2k+1)^2-1 = (4k^2 + 4k + 1) -1 = 4k^2+4k = 4k(k-1)$

Observer at $(k-1)$ og $k$ er to etterfølgende tall, altså hvis f.eks $k=4$, hadde $k-1=3$. Siden tallene veksler mellom å være oddetall og partall for annenhvert tall, vi altså alltid $(k-1)$ eller $k$ være et partall. I alle partall er $2$ en faktor, og siden $4$ allerede er en faktor i uttrykket, vil da $4 \cdot 2 = 8$ alltid være en faktor. Derfor vil uttrykket alltid være delelelig på $8$.

Forresten, så må ikke $n>3$, for $3^2-1=8$, som selvfølgelig er delelig på $8$.
Tusen takk for hjelpen!
Svar