Omkrets av rektangel og sirkel - andregradsfunksjon

[Straamann]

Viser til vedlagt oppgave.

Det er særlig a) og b) jeg ikke forstår. Må få grep om disse, så klarer jeg resten.

Hvordan forklare hvordan man kan regne ut omkretsen av figuren, og hvordan kan dette forklares i en andregradsfunksjon?

[DennisChristensen]

Viser til vedlagt oppgave.

Det er særlig a) og b) jeg ikke forstår. Må få grep om disse, så klarer jeg resten.

Hvordan forklare hvordan man kan regne ut omkretsen av figuren, og hvordan kan dette forklares i en andregradsfunksjon?

(a) Vi vet at $$\text{lengden av rektangelets korteste sider} = 2\cdot\text{ (halvsirkelens radius)} = 2x.$$ Videre vet vi at omkretsen til lekeområdet er $200m$. La $y = $ lengden av rektangelets lengste sider. Da har vi at vi at $$\begin{align*} 200 & = 2\left(\text{lengden av rektangelets lengste sider}\right) + \text{lengden av rektangelets korteste sider} + \text{lengden av randen til "halvsirkel-delen"} \\ & = 2y + 2x + \frac12\cdot 2\pi x \\ & = 2y + 2x + \pi x\end{align*}$$ $$2y = 200 - 2x - \pi x$$ $$y = 100 - x - \frac{\pi}{2}x = 100 - \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)x \approx 100 - 2,57x.$$

Altså er lengden av sidene i rektangelet gitt ved $2x$ og $100 - 2,57x$, hvilket skulle vises.

(b) $$\begin{align*} A(x) & = \text{areal av rektangel} + \text{areal av halvsirkel} \\ & = 2x(100 - 2,57x) + \frac12 \pi x^2 \\ & \approx 200x - 5,14x^2 + 1,57x^2 \\ & = 200x - 3,57x^2.\end{align*}$$

[Straamann]

Takk supert
Godt forklart!

[Straamann]

Men hvorfor skriver du at:

200=2(lengden av rektangelets lengste sider)+lengden av rektangelets korteste sider+lengden av randen til "halvsirkel-delen"

Dersom vi skal finne omkretsen av figuren, er det vel 2 siden i rektangelet, omkretsen av halvsirkelen og bare 1 av de korte sidene i rektangelet. Den andre siden i rektangelet er jo inni figuren og burde vel ikke ha noe å si for omkretsen?

[DennisChristensen]

Men hvorfor skriver du at:

200=2(lengden av rektangelets lengste sider)+lengden av rektangelets korteste sider+lengden av randen til "halvsirkel-delen"

Dersom vi skal finne omkretsen av figuren, er det vel 2 siden i rektangelet, omkretsen av halvsirkelen og bare 1 av de korte sidene i rektangelet. Den andre siden i rektangelet er jo inni figuren og burde vel ikke ha noe å si for omkretsen?

Det er nettopp dette jeg har skrevet. Vi legger altså til $2x$, ikke $4x$, slik du har observert.

[Straamann]

Ja, en liten luring det der