Kan ikke Cauchy-Schwarz enda, men løste den med Lagranges multiplikatormetode.
Har funksjonene [tex]f(a,b,c)=2a^2+3b^2+5c^2[/tex] og [tex]g(a,b,c)=a+b+c-1=0[/tex] og at [tex]a,b,c>0[/tex].
Funksjonskurvene tangerer hverandre i minimumspunktet, som betyr at gradientene deres er parallelle: [tex]\nabla f=\lambda \nabla g[/tex]. Deriverer med hensyn på de ulike variablene og setter komponentene lik hverandre for å få et ligningssystem på fire ligninger og fire ukjente:
[tex]4a=\lambda[/tex]
[tex]6b=\lambda[/tex]
[tex]10c=\lambda[/tex]
[tex]a+b+c-1=0[/tex]
Løser ligningssystemet ved å dele første ligning på 4, andre på 6, tredje på 10, og trekker de fra den siste for å finne [tex]\lambda[/tex] og så minimumspunktet [tex](a,b,c)[/tex] for [tex]f[/tex].
[tex]-1=-({1\over 4}+{1\over 6}+{1\over 10})\lambda[/tex] gir [tex]\lambda={60\over 31}[/tex] og punktet [tex](a,b,c)=({15\over 31},{10\over 31},{6\over 31})[/tex].
Minimumsverdien er dermed [tex]f({15\over 31},{10\over 31},{6\over 31})={2(15)^2+3(10)^2+5(6)^2\over 31^2}={30\over 31}[/tex].
Forklaringen er neppe forståelig om man ikke kan metoden fra før, og muligens ikke vanntett uansett. Lærte akkurat metoden fra
https://video.adm.ntnu.no/pres/501fbcb61ce6d . Problemet ble kanskje for trivielt med denne metoden, men så ligger det jo på videregående-forumet. Synes det var gøy å endelig få brukt den hvertfall (prøvde å lære den for lenge siden), så takk for det.