R2 - Tetraeder/Pyramide

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
hex

Oppgaven:
Hjørnene i en pyramide er ABCP er A(0,0,0) , B(1,0,-1) , C(1,1,0) og P(t,2t+1,t^2+2) , t er element i alle reelle tall.


a) Bestem et uttrykk for volumet V(t) av pyramiden.

Utifra oppgaveteksten vil jeg tro at dette er en firkantet pyramide, hvor "toppen" av pyramiden ikke er oppgitt, altså at de 4 punktene som er oppgitt utgjør hjørnene i grunnflaten.
Men et løsningsforslag viste at den brukte formelen for volumet av et tetraeder, 1/6 *|(ABxAC)*AP|. Hvorfor ikke 1/3 *|(ABxAC)*AP| som er formelen for volumet av en firkantet pyramide ?
(AB, AC og AP er vektorer).
Jeg var også under inntrykk av at *AP* vektor måtte være vektoren fra A til toppen av pyramiden/tetraederet, men som sagt har jeg forstått P til å være enda et av hjørnene i grunnflaten. Er dette ikke korrekt?
Gjest

Hvis oppgaven kaller det et tetraeder så vil grunnflaten være med 3 punkter. På samme måte som arealet av en trekant er halvparten av en firkant blir også volumet av en pyramide med trekantet grunnflate (tetraeder) det samme som halvparten av en pyramide med firkantet grunnflate. Jeg tror nok ikke at P ligger i samme flate som de andre punktene.

Se på det en annen måte. Hvordan skal du bestemme volum når du bare har en grunnflate?
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

hex skrev:Jeg var også under inntrykk av at *AP* vektor måtte være vektoren fra A til toppen av pyramiden/tetraederet, men som sagt har jeg forstått P til å være enda et av hjørnene i grunnflaten. Er dette ikke korrekt?
Siden posisjonen til P vil endre seg avhengig av hvilken verdi vi setter inn for $t$, så kan det tenkes at $AP$ ligger i samme plan som $AB$ og $AC$.

Da vil du evt. oppdage at volumformelen gir deg $V(t) = 0$ for en gitt $t$.

Det kan også tenktes at $P$ aldri ligger i planet. Da vil $V(t)=0$ aldri ha en løsning.

Eller $P$ kan alltid ligge i planet utspent av $AB$ og $AC$. Da vil du få uendelig mange løsninger av $V(t) = 0$.
hex

Gjest skrev:Hvis oppgaven kaller det et tetraeder så vil grunnflaten være med 3 punkter. På samme måte som arealet av en trekant er halvparten av en firkant blir også volumet av en pyramide med trekantet grunnflate (tetraeder) det samme som halvparten av en pyramide med firkantet grunnflate. Jeg tror nok ikke at P ligger i samme flate som de andre punktene.

Se på det en annen måte. Hvordan skal du bestemme volum når du bare har en grunnflate?
Oppgaven sa pyramide så jeg umiddelbart tenkte at dette er en firkantet pyramide, jeg tenkte at hvis det var et tetraeder så ville oppgaven si det. Men jeg har funnet ut at et tetraeder er bare en trekantet pyramide, jeg trodde en pyramide var definert med en firkantet grunnflate.
Svar