Induksjonsbevis
Lagt inn: 13/11-2017 16:04
Hei, jeg synes det med induksjonsbevis fortsatt er litt rart.
Ønsker å bevise at $3 \mid n^3-n, \enspace \forall n \in \mathbb{N}$
Det finnes jo selvfølgelig en måte uten induksjonsbevis; faktorisere til $(n-1)n(n+1)$, som er trepåfølgende heltall som må være delelig på 3, men det er altså ikke denne metoden jeg er ute etter.
Med induksjon tenker jeg sånn her:
Basistilfellet
For $n=1$ har vi $1^3-1 = 0$ og $3 \mid 0 \enspace \enspace \checkmark$
Induksjonstrinnet
Vi antar at påstanden $P(n)$ holder for $P(k)$, altså at $3 \mid k^3-k$.
Vi ønsker å vise at $P(k+1)$ holder.
$(k+1)^3-(k+1)=k^3+2k^2+k+k^2+2k+1-k-1$
$(k+1)^3-(k+1)=(k^3-k) + 3k^2+3k$
$(k+1)^3-(k+1)=(k^3-k)+3(k^2+k)$
Det er lett å se at det siste leddet er delelig på $3$, da $3$ er en faktor, men det første leddet er jo bare det vi antok. Hvorfor vil det også være delelig på $3$?
Akkurat denne tankegangen går igjen i alle induksjobevis, jeg forstår ikke helt hvorfor vi bare kan anta at $P(n)$ stemmer. Noen som kunne ha forklart dette?
Ønsker å bevise at $3 \mid n^3-n, \enspace \forall n \in \mathbb{N}$
Det finnes jo selvfølgelig en måte uten induksjonsbevis; faktorisere til $(n-1)n(n+1)$, som er trepåfølgende heltall som må være delelig på 3, men det er altså ikke denne metoden jeg er ute etter.
Med induksjon tenker jeg sånn her:
Basistilfellet
For $n=1$ har vi $1^3-1 = 0$ og $3 \mid 0 \enspace \enspace \checkmark$
Induksjonstrinnet
Vi antar at påstanden $P(n)$ holder for $P(k)$, altså at $3 \mid k^3-k$.
Vi ønsker å vise at $P(k+1)$ holder.
$(k+1)^3-(k+1)=k^3+2k^2+k+k^2+2k+1-k-1$
$(k+1)^3-(k+1)=(k^3-k) + 3k^2+3k$
$(k+1)^3-(k+1)=(k^3-k)+3(k^2+k)$
Det er lett å se at det siste leddet er delelig på $3$, da $3$ er en faktor, men det første leddet er jo bare det vi antok. Hvorfor vil det også være delelig på $3$?
Akkurat denne tankegangen går igjen i alle induksjobevis, jeg forstår ikke helt hvorfor vi bare kan anta at $P(n)$ stemmer. Noen som kunne ha forklart dette?