matematikk.net

vis ved induksjon at for alle naturlige tall n er
[tex](x^{-n})' = -nx^{-n-1}[/tex]

Her får jeg [tex]kx^{-x-3}[/tex], noe som jo åpenbart er feil

mattenøtta skrev:vis ved induksjon at for alle naturlige tall n er
[tex](x^{-n})' = -nx^{-n-1}[/tex]

Her får jeg [tex]kx^{-x-3}[/tex], noe som jo åpenbart er feil

Basistilfellet $n=0$:
$$(x^{-0})' = 1' = 0 = -0\cdot x^{-0-1} \text{ }\text{ }\checkmark$$

Induksjon:
Anta at resultatet gjelder for $n\in\mathbb{N}$. Da har vi at
$$(x^{-(n+1)})' = (x^{-n-1})' = (x^{-n}x^{-1})' = (x^{-n})'x^{-1} + x^{-n}(x^{-1})' = -nx^{-n-1}x^{-1} + x^{-n}\frac{-1}{x^2} = -nx^{-n-2} - x^{-n-2} = -(n+1)x^{-(n+1) - 1},$$
så påstanden er bevist ved induksjon. $\text{ }\checkmark$

Hvorfor tar du n=0 og ikke n=1?

mattenøtta skrev:Hvorfor tar du n=0 og ikke n=1?

Formelen gjelder for både $n=0$ og $n=1$, så begge to kan velges som basistilfelle.