matematikk.net

vis at hvis x>-1, så er [tex](1+x)^{n} \geq 1 + nx[/tex]
for alle hele tall n[tex]\geq[/tex]2

Her er jeg helt blank

mattenøtta skrev:vis at hvis x>-1, så er [tex](1+x)^{n} \geq 1 + nx[/tex]
for alle hele tall n[tex]\geq[/tex]2

Her er jeg helt blank

Basistilfellet $n=2$:
$$(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 \geq 1 + 2x\text{ ettersom }x^2\geq 0. \text{ }\text{ }\checkmark$$

Induksjon:
Anta at ulikheten gjelder for $n\in\mathbb{N}.$ Da har vi at
$$(1 + x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx) = 1 + nx + x + nx^2 = 1 + (n+1)x + nx^2 \geq 1 + (n+1)x\text{ ettersom }x^2\geq 0,$$
så ulikheten er bevist for alle $n\geq 2$ ved induksjon. $\text{ }\checkmark$

Induksjonsbeviset ditt følger standard fremgangsmåte og påstanden er bevist.
Men jeg skjønner ikke hvor kravet om at x må være større enn ( -1 ) kommer inn .
Har du et fornuftig svar ?

OYV skrev:Induksjonsbeviset ditt følger standard fremgangsmåte og påstanden er bevist.
Men jeg skjønner ikke hvor kravet om at x må være større enn ( -1 ) kommer inn .
Har du et fornuftig svar ?

I induksjonssteget skrives det at $(1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx)$ ettersom $(1+x)^n \geq 1 +nx$ er antatt. Dette vil kun være gyldig når $x\geq -1$, altså når $1 + x \geq 0$.

Takk for svar. Men jeg greier fortsatt ikke å innse at vi må legge begrensinger på x for at ulikheten skal være oppfylt.
Kan du vise til en x-verdi hvor ulikheten ikke holder ?

Samtidig vil jeg ha sagt at denne ulikheten er ikke spesielt interessant.

Bernoullis ulikhet har mange anvendelser, så den er slett ikke uinteressant.

OYV skrev:Takk for svar. Men jeg greier fortsatt ikke å innse at vi må legge begrensinger på x for at ulikheten skal være oppfylt.
Kan du vise til en x-verdi hvor ulikheten ikke holder ?

La $n=3$, $x<-3$. Da har vi at
$$(1 + x)^n - (1 + nx) = (1+x)^3 - (1+3x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - 1 - 3x = x^2(x + 3) < 0,$$
så ulikheten gjelder ikke i dette tilfellet.

Takk !