matematikk.net

Hei.

Jeg fikk en oppgave jeg ikke greier å løse som lyder som følger:

Ta for deg likningen 5^3*(x/5)^(ln x +2)=x^3 der x>0

Vis at likningen kan omformes til (ln x - ln 5)(ln x - 1)=0

Klarer ikke å komme fram til denne forenklingen. Har noen mulighet til å vise framgangsmåte?

Hint: Del på $5^3$ på begge sider.

Likningen blir da $\left(\frac x5\right)^{\ln x + 2} = \left(\frac x5\right)^3$

Hint: Dele med [tex]5^3[/tex] på begge sider. Da får du likninga

([tex]\frac{x}{5})^{lnx +2 }[/tex] = ([tex]\frac{x}{5})^3[/tex]

Her ser vi at venstre og høyre side er potenser med samme grunntall [tex]\frac{x}{5}[/tex].
Da er V. S. = H.S. hvis og bare hvis eksponentene er like eller grunntallet er lik 1.
Håper at du her med har fått verdifulle tips for å kunne løse oppgaven !

Presisering: Du skal vise at den opprinnelige likninga er ensbetydende(ekvivalent) med at

( lnx - ln5 )( lnx - 1 ) = 0

Hint: Trekk ut ln-logaritmen på begge sider (se mellomløsning) , flytt alt over på venstre side(V.S.) og faktoriser
uttrykket på V.S. (sett felles faktor utenfor en parentes ).

Takk for rask respons!

Ut i fra det du skriver OYV får jeg at x=e eller x=ln5, som burde være lett å komme fram til ut i fra det forenkla uttrykket hvis jeg ikke er helt på jordet.

Skjønner at ln x -1 = 0 eller ln x - ln 5 = 0, men forstår likevel ikke hvordan jeg får forkorta uttrykket på den måten. Kommer kun til (ln x)^2 - (ln 5)(ln x) - (ln x) + (ln 5) = 0

Sorry for at det blir slitsomt å lese, har ikke tid til å sette meg inn i de latex greiene akkurat nå.

Minner om følgende regneregel: ln(a^n) =n* lna

Bruker ovenstående regel på den mellomløsningen jeg presenterte i mitt første innspill, og får:

(lnx + 2) * ln(x/5) = 3 * ln(x/5)

Flytter alt over på V.S. og får

(lnx + 2) * ln(x/5) - 3 * ln(x/5) = 0

Setter ln(x/5) utenfor en parantes , og får

( 1 ) ln(x/5) ( lnx + 2 - 3 ) = 0

ln(x/5) = lnx - ln5 (regel: ln(a/b) = lna - lnb )

Setter inn for ln(x/5) i ligning ( 1 ) og får

(lnx - ln5) (lnx - 1 ) = 0 (som skulle vises )

Denne ligningen er oppfylt når en av parantesene(faktorene) er null.Det betyr at vi får to løsninger;

lnx - ln5 = 0 som gir lnx = ln5 som gir x = e^ln5 = 5

eller

lnx - 1 = 0 som gir lnx = 1 som gir x = e^1 = e ( som er det svaret du har fått)

Håper denne fremstillingen virker klargjørende .

Tusen takk!

Når ln x - ln 5 = 0 er jo såklart x lik 5, det var rett og slett en liten slurv der. Takk for all hjelp, må si jeg egentlig likte den første fremgangsmåten din bedre for å finne løsning OYV