Grenseverdi

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
erikalexander
Cayley
Cayley
Innlegg: 61
Registrert: 31/01-2016 15:50

[tex]\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}}[/tex]

Alt jeg har klart å oppnå er å omforme det til [tex]\frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}[/tex]

ved å gange med den "konjugerte" over og under brøkstreken. Men det nye uttrykket ser ikke så veldig brukbart ut det heller.
Så da er jeg helt tom for ideer. Hint? Tips?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

erikalexander skrev:[tex]\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}}[/tex]

Alt jeg har klart å oppnå er å omforme det til [tex]\frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}[/tex]

ved å gange med den "konjugerte" over og under brøkstreken. Men det nye uttrykket ser ikke så veldig brukbart ut det heller.
Så da er jeg helt tom for ideer. Hint? Tips?
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n}} - \sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n}\right)}{\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} + 1\right) = \sqrt{1} + 1 = 2.$$
Svar