matematikk.net

Oppgåve B 2.57 R1 Sigma
La n vere eit naturleg tal. Vis at dersom n ikkje er deleleg med 3,
har n^2 ein rest lik 1 når vi deler med 3.

Kan denne oppgåva løysast slik ?
n = 3k + 1, k er eit heilt tal og er ikkje deleleg med 3
Tenker at om k = 10, får vi 10/3 = 3 pluss 1 rest
n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, som gir 1 i rest når vi deler med 3
Tenker at om k = 10, får vi: 3(10^2 + 2*10) + 1 = 3(100 +20) +1 = 360 +1 = 361/3 = 120 rest 1
Vi har vist det oppgåve spurde om.

Du har vist at det holder for tall på formen $n = 3k+1$ så du har dekt $1, 4, 7, 10, 13, 16 \ldots$ men hva med $2, 11, 14, 17, 20 \ldots$? Disse er heller ikke delelig med $3$, men kan heller ikke skrives som $3k+1$.

Ja sjølvsagt, vi må tenkte tre tall etter kvarandre n, n + 1, n + 2, der eitt er deleleg med 3.

Der n er deleleg med 3 og der n + 1 og n + 2 ikkje er deleleg med 3.
Då får vi: n = 3k + 1
n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, som gir 1 i rest når vi deler med 3
Då får vi: n = 3k + 2
n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4) = 3(3k^2 + 4k +1) + 1 , som gir 1 i rest når vi deler med 3

Då har løyst oppgåva.

Bra!