Jeg har denne log
4(x+4)-2log
4(x+1)=1/2
Kanskje? -2log
4(x+4)/(x+1)=1 (Vet ikke helt hvordan jeg går frem her
)
I og med at uttrykket inneholder en venstre- og høyreside (av likhetstegnet), er det en likning vi skal prøve å løse, der x er variabelen.
Igjen, tredje logaritmesetning sier at [tex]\log \left (\frac{a}{b} \right ) = \log(a) - \log(b)[/tex]. Denne likheten vil også gjelde andre veien; altså om vi har et uttrykk $ \log(a) - \log(b) $, kan vi skrive om det til $ \log \left (\frac{a}{b} \right ) $. Alt dette gitt at logaritmene har samme grunntall, noe de har i ditt tilfelle.
Første logaritmesetning sier at [tex]\log \left (a^x \right ) = x \cdot \log(a)[/tex], og i likhet med tredje logaritmesetning kan vi også tenke motsatt vei om denne.
Med dette i bakhodet kan vi skrive om $ \log_{4}(x+4) - 2\log_{4}(x+1) $ til $ \log_{4} \left( \frac{x+4}{(x+1)^2 } \right) $.
Vi har nå uttrykket $ \log_{4} \left( \frac{x+4}{(x+1)^2 } \right) = \frac{1}{2} $
Videre lar vi venstre- og høyresiden være eksponenter i en potens med grunntallet i logaritmen som grunntallet i potensen.
$ \log_{4} \left( \frac{x+4}{(x+1)^2 } \right) = \frac{1}{2} \enspace \Rightarrow \enspace 4^{\log_{4} \left( \frac{x+4}{(x+1)^2 } \right)} = 4^{\frac{1}{2}} $
Vi har en annen regler for logaritmer som sier at [tex]a^{\log_{a}(b)} = b[/tex]. Derfor vil altså venstresiden av likhetstegnet tilsvare det mellom parentesene. Vi løser nå likningen;
$ \frac{x+4}{(x+1)^2 } = \sqrt{4} \enspace \Rightarrow \enspace \frac{x+4}{(x+1)^2 } = 2 \enspace \Rightarrow \enspace x+4 = 2(x+1)^2 \enspace \Rightarrow \enspace x+4 = 2x^2+4x+2$
Nå er resten standard prosedyre;
1. Flytt over slik at høyresiden av uttrykket er lik null; $ -2x^2-3x+2=0 $
2. Løs likningen med abc-formelen.
Svaret ligger i spoileren.
- [+] Skjult tekst
- $ -2x^2-3x+2=0 $
abc-formelen gir $-2$ og $ \frac{1}{2} $ som løsninger. Logaritmefunksjonen er ikke definert for negative tall, og vi må derfor forkaste $ x = -2$ som løsning. Ser du hvorfor?
Løsningen er altså [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]