Uendelig kvadratrot

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Fra en oppgave i Abelkonkurransen;

Hva er verdien av [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]?

Jeg har prøvd å skrive om uttrykket algebraisk, men kommer ingen vei. Fasiten sier at hvis [tex]x[/tex] er verdien av uttrykket, er [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex]. Når man først kommer hit er resten enkelt, men det er det å komme hit jeg sliter med. Hvordan vet man at [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex], gitt at [tex]x[/tex] er verdien man leter etter?

På forhånd, tusen takk.
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

mattemarkus skrev:Fra en oppgave i Abelkonkurransen;

Hva er verdien av [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]?

Jeg har prøvd å skrive om uttrykket algebraisk, men kommer ingen vei. Fasiten sier at hvis [tex]x[/tex] er verdien av uttrykket, er [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex]. Når man først kommer hit er resten enkelt, men det er det å komme hit jeg sliter med. Hvordan vet man at [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex], gitt at [tex]x[/tex] er verdien man leter etter?

På forhånd, tusen takk.
La $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}$. Da har vi at $$x^2 = \left(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}\right)^2 = 6 + \sqrt{6+\sqrt{6+\dots}} = 6 + x.$$
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

DennisChristensen skrev:
mattemarkus skrev:Fra en oppgave i Abelkonkurransen;

Hva er verdien av [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]?

Jeg har prøvd å skrive om uttrykket algebraisk, men kommer ingen vei. Fasiten sier at hvis [tex]x[/tex] er verdien av uttrykket, er [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex]. Når man først kommer hit er resten enkelt, men det er det å komme hit jeg sliter med. Hvordan vet man at [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex], gitt at [tex]x[/tex] er verdien man leter etter?

På forhånd, tusen takk.
La $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}$. Da har vi at $$x^2 = \left(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}\right)^2 = 6 + \sqrt{6+\sqrt{6+\dots}} = 6 + x.$$
Da ble det med en gang mye mer forståelig. Tusen takk for hjelpen.
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

mattemarkus skrev:
DennisChristensen skrev:
mattemarkus skrev:Fra en oppgave i Abelkonkurransen;

Hva er verdien av [tex]\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}[/tex]?

Jeg har prøvd å skrive om uttrykket algebraisk, men kommer ingen vei. Fasiten sier at hvis [tex]x[/tex] er verdien av uttrykket, er [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex]. Når man først kommer hit er resten enkelt, men det er det å komme hit jeg sliter med. Hvordan vet man at [tex]x=\sqrt{6+x}[/tex], gitt at [tex]x[/tex] er verdien man leter etter?

På forhånd, tusen takk.
La $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}$. Da har vi at $$x^2 = \left(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}\right)^2 = 6 + \sqrt{6+\sqrt{6+\dots}} = 6 + x.$$
Da ble det med en gang mye mer forståelig. Tusen takk for hjelpen.

En annen gøy oppfølger med uendelige røtter, er jo at hvis:

[tex]y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}[/tex]

finn [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Kay skrev:
En annen gøy oppfølger med uendelige røtter, er jo at hvis:

[tex]y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}[/tex]

finn [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]
Mulig jeg er på villspor her, men gjør et forsøk allikevel.

Vi har at [tex]y=\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + ...}}}[/tex]

Dermed vil [tex]y^2=x+y[/tex]

Vi har da at [tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}y^2 -\frac{d}{dx}x[/tex]

[tex][tex][/tex]\frac{dy}{dx} = [tex]\frac{d}{dx}y^2 - 1[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = -1[/tex], men dette kan åpenbart ikke stemme hvis [tex]\frac{d}{dx}y^2 = 0[/tex], må jo også[tex]\frac{dy}{dx} = 0[/tex].

Jeg sitter fast her, og prøver å se andre måter å betrakte en slik oppgave på, noe jeg ikke har lyktes med enda. Jeg får tenke litt mer, men setter gjerne pris på små hint.
Kay
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 13/06-2016 19:23
Sted: Gløshaugen

mattemarkus skrev:
Kay skrev:
En annen gøy oppfølger med uendelige røtter, er jo at hvis:

[tex]y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}[/tex]

finn [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]
Mulig jeg er på villspor her, men gjør et forsøk allikevel.

Vi har at [tex]y=\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + ...}}}[/tex]

Dermed vil [tex]y^2=x+y[/tex]

Vi har da at [tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}y^2 -\frac{d}{dx}x[/tex]

[tex][tex][/tex]\frac{dy}{dx} = [tex]\frac{d}{dx}y^2 - 1[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = -1[/tex], men dette kan åpenbart ikke stemme hvis [tex]\frac{d}{dx}y^2 = 0[/tex], må jo også[tex]\frac{dy}{dx} = 0[/tex].

Jeg sitter fast her, og prøver å se andre måter å betrakte en slik oppgave på, noe jeg ikke har lyktes med enda. Jeg får tenke litt mer, men setter gjerne pris på små hint.
Kan bruke noen andre bokstaver bare for ordens skyld

Hint: la [tex]x=\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\dots}}}[/tex], da vil [tex]x^2=n+x\Leftrightarrow x^2-x-n=0[/tex]
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

mattemarkus skrev:
Kay skrev:
En annen gøy oppfølger med uendelige røtter, er jo at hvis:

[tex]y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}[/tex]

finn [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]
Mulig jeg er på villspor her, men gjør et forsøk allikevel.

Vi har at [tex]y=\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + ...}}}[/tex]

Dermed vil [tex]y^2=x+y[/tex]

Vi har da at [tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}y^2 -\frac{d}{dx}x[/tex]

[tex][tex][/tex]\frac{dy}{dx} = [tex]\frac{d}{dx}y^2 - 1[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = -1[/tex], men dette kan åpenbart ikke stemme hvis [tex]\frac{d}{dx}y^2 = 0[/tex], må jo også[tex]\frac{dy}{dx} = 0[/tex].

Jeg sitter fast her, og prøver å se andre måter å betrakte en slik oppgave på, noe jeg ikke har lyktes med enda. Jeg får tenke litt mer, men setter gjerne pris på små hint.
Hint: $\frac{d}{dx}f(y) = f'(y) \cdot y'(x)$ ved kjerneregel.
Bilde
Svar