matematikk.net

[tex]y'''+6y''+9y'=0[/tex]. Fasiten sier [tex]y=C_{1}e^{-3x}+C_{2}xe^{-3x}+C_{3}[/tex].


1. Jeg har gjort: [tex]Y=y' \rightarrow Y''+6Y'+9Y=0[/tex] har den karakteriske likningen [tex]r^2+6r+9=0 \rightarrow r=-3[/tex]. Generell løsning blir da
[tex]Y=C_{1}e^{-3x}+C_{2}xe^{-3x}=e^{-3x}(C_{1}+C_{2}x)[/tex]

2. [tex]y=\int e^{-3x}(C_{1}+C_{2}x)dx[/tex]. Bruker delvis integrasjon der [tex]u'=e^{-3x},u=-\frac{1}{3}e^{-3x},v=C_{1}+C_{2}x,v'=C_{2}[/tex]

3. [tex]y=u*v-\int v'udx=-\frac{1}{3}e^{-3x}(C_{1}+C_{2}x)-\int C_{2}(-\frac{1}{3}e^{-3x})dx[/tex]

4. [tex]y=-\frac{1}{3}e^{-3x}(C_{1}+C_{2}x)+\frac{1}{3}C_{2}\int e^{-3x}dx[/tex]

5. [tex]y=-\frac{1}{3}e^{-3x}(C_{1}+C_{2}x)-\frac{1}{9}C_{2}e^{-3x}+C_{3}[/tex]

6. [tex]y=-\frac{1}{3}e^{-3x}(C_{1}+C_{2}x+\frac{1}{3}C_{2})+C_{3}[/tex]

7. [tex]y=-\frac{1}{3}e^{-3x}(C_{1}+C_{2}\frac{3x+1}{3})+C_{3}[/tex]

osv. osv.

Jeg er åpenbart helt på bærtur siden ingen av leddene i fasiten inneholder faktoren [tex]-\frac{1}{3}[/tex], men jeg skjønner ikke hva jeg gjør galt. Fint om noen bare peker ut hvilken rad jeg gjør feil på. Det er derfor jeg har numerert dem.

erikalexander skrev:[tex]y'''+6y''+9y'=0[/tex]. Fasiten sier [tex]y=C_{1}e^{-3x}+C_{2}xe^{-3x}+C_{3}[/tex].


1. Jeg har gjort: [tex]Y=y' \rightarrow Y''+6Y'+9Y=0[/tex] har den karakteriske likningen [tex]r^2+6r+9=0 \rightarrow r=-3[/tex]. Generell løsning blir da
[tex]Y=C_{1}e^{-3x}+C_{2}xe^{-3x}=e^{-3x}(C_{1}+C_{2}x)[/tex]

2. [tex]y=\int e^{-3x}(C_{1}+C_{2}x)dx[/tex]. Bruker delvis integrasjon der [tex]u'=e^{-3x},u=-\frac{1}{3}e^{-3x},v=C_{1}+C_{2}x,v'=C_{2}[/tex]

3. [tex]y=u*v-\int v'udx=-\frac{1}{3}e^{-3x}(C_{1}+C_{2}x)-\int C_{2}(-\frac{1}{3}e^{-3x})dx[/tex]

4. [tex]y=-\frac{1}{3}e^{-3x}(C_{1}+C_{2}x)+\frac{1}{3}C_{2}\int e^{-3x}dx[/tex]

5. [tex]y=-\frac{1}{3}e^{-3x}(C_{1}+C_{2}x)-\frac{1}{9}C_{2}e^{-3x}+C_{3}[/tex]

6. [tex]y=-\frac{1}{3}e^{-3x}(C_{1}+C_{2}x+\frac{1}{3}C_{2})+C_{3}[/tex]

7. [tex]y=-\frac{1}{3}e^{-3x}(C_{1}+C_{2}\frac{3x+1}{3})+C_{3}[/tex]

osv. osv.

Jeg er åpenbart helt på bærtur siden ingen av leddene i fasiten inneholder faktoren [tex]-\frac{1}{3}[/tex], men jeg skjønner ikke hva jeg gjør galt. Fint om noen bare peker ut hvilken rad jeg gjør feil på. Det er derfor jeg har numerert dem.

Du har gjort alle utregninger riktig og kommet frem til korrekt svar. Grunnen til at fasiten ser annerledes ut er fordi konstantene er definert forskjellig i de ulike svarene. Hvis vi skriver fasiten som $$y = \alpha e^{-3x}+\beta xe^{-3x}+\gamma$$ og din løsning som $$y=-\frac{1}{3}e^{-3x}(C_{1}+C_{2}\frac{3x+1}{3})+C_{3} = \left(-\frac13 C_1 - \frac19 C_2\right)e^{-3x} - \frac13 C_2 xe^{-3x} + C_3,$$ setter vi $\alpha = -\frac13 C_1 - \frac19 C_2, \beta = -\frac13 C_2, \gamma = C_3$ for å få din løsning på samme form som fasiten.

DennisChristensen skrev: Du har gjort alle utregninger riktig og kommet frem til korrekt svar. Grunnen til at fasiten ser annerledes ut er fordi konstantene er definert forskjellig i de ulike svarene. Hvis vi skriver fasiten som $$y = \alpha e^{-3x}+\beta xe^{-3x}+\gamma$$ og din løsning som $$y=-\frac{1}{3}e^{-3x}(C_{1}+C_{2}\frac{3x+1}{3})+C_{3} = \left(-\frac13 C_1 - \frac19 C_2\right)e^{-3x} - \frac13 C_2 xe^{-3x} + C_3,$$ setter vi $\alpha = -\frac13 C_1 - \frac19 C_2, \beta = -\frac13 C_2, \gamma = C_3$ for å få din løsning på samme form som fasiten.

Da lærte jeg noe nytt! Hvorfor skrive [tex]-\frac13 C_1 - \frac19 C_2[/tex] når man bare kan skrive f.eks [tex]C[/tex] .. Begge uttrykkene kan jo ha hvilke som helst reelle verdier og avhenger ikke av [tex]x[/tex], så hvorfor ikke skrive det enklest mulig .. Det blir veldig nyttig fremover! Sparer masse tid og papir.