matematikk.net

Hei,

jeg sitter og jobber med en større oppgave, og når jeg ser på løsningsforslaget ser jeg at de har gjort en overgang fra
[tex]2-2sin(t)[/tex]
til
[tex]4sin^2 \left(\frac{t-\pi / 2}{2}\right)[/tex]

Kjører jeg den gjennom wolframalpha med kommandoen simplify får jeg
[tex]4sin^2\left( \frac{\pi/2 - t}{2} \right )[/tex]

Jeg henger ikke med på hvor denne overgangen kommer fra, og hvorfor er det forskjellig fortegn i kjernen mellom det løsningsforslaget sier og wolframalpha?
Noen som kunne gitt en kjapp steg for steg, eller eventuelt trukket frem de trigonometriske relasjonene som gjør denne overgangen mulig?

Det er bare det at siden sinus opphøyes i annen så har den ingen negativ output. Slik at om du bare ganger alt i kjernen med -1 så endres ikke verdien av funksjonen som helhet. (Selvom kjernen nettop endret seg med faktor -1)

Ja, okei, den ser jeg,

men hvordan kommer man seg fra
[tex]2 - 2sin(t)[/tex]

til
[tex]4sin^2 \left(\frac{t-\pi / 2}{2}\right)[/tex]
?

Skulle du kunne poste hele oppgaven?

abandonedmathematics skrev:Hei,

jeg sitter og jobber med en større oppgave, og når jeg ser på løsningsforslaget ser jeg at de har gjort en overgang fra
[tex]2-2sin(t)[/tex]
til
[tex]4sin^2 \left(\frac{t-\pi / 2}{2}\right)[/tex]

Bruk de kjente identitetene

$2\sin^2 x = 1-\cos 2x$

og

$\cos (x-\frac{\pi}{2})=\sin x$.

Den første identiteten kan vises lett ut fra summeformelen $\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$, ved at du setter y=x, og bruker at $\sin^2x+\cos^2x=1$.

Skriver ned hele her i tilfelle noen finner tråden i fremtiden.
[tex]2-2sin(t) = 2 \left(1-sin(t)\right)[/tex] Jobber videre med kjernen.

[tex]1-sin(t) = sin(\frac{\pi}{2}) - sin(t)[/tex]

bruker det at [tex]sin(\alpha) - sin(\beta) = 2cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)[/tex]

og at [tex]cos(\Theta) = sin\left(\frac{\pi}{2} - \Theta\right)[/tex]

[tex]sin(\frac{\pi}{2}) - sin(t) = 2cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + t}{2}\right) sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} - t}{2}\right) = 2sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\frac{\pi}{2} + t}{2}\right) sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} - t}{2}\right)[/tex]

Multipliserer inn 2 som vi fjernet i starten og sitter igjen med
[tex]4sin^2 \left(\frac{\frac{\pi}{2} - t}{2} \right)[/tex]