Sliter med induksjonsbevis

[Daggymatted]

Her er et eksempel jeg bare ikke klarer å få til:

Bruk induksjon til å bevise påstanden:

P(n): 1^3+2^3+3^3+...+n^3=n^2(n+1)^2/4

Beklager for at jeg ikke klarer å skrive det sånn at det ser pent og ryddig ut. Vet at man skal bevise at det stemmer for n=1, så anta at det stemmer for n=k, så vise at det stemmer for n=k+1. Er vel litt lost på fremgangsmåten.

[Nebuchadnezzar]

KAn du vise hvor langt du er kommet? Regner med du har klart å vise at fornelen stemmer for $n=1$ =)

[Daggymatted]

Tester for n=1:
1^3=1^2(1+1)^2/4=1

Antar at det stemmer for n=k

1^3+2^3+3^3+...+n^3=k^2(k+1)^2/4

Induksjonssteget, også her jeg mister styringen: vise at det gjelder for n=k+1

k^2(k+1)^2/4 + (k+1)^3 = (k+1)^2(k+2)^2/4 Her kan jeg få leddene på vestre side på samme brøkstrek.

k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3/4 =(k+1)^2(k+2)^2/4 Her klarer jeg ikke på komme meg videre.

[DennisChristensen]

Tester for n=1:
1^3=1^2(1+1)^2/4=1

Antar at det stemmer for n=k

1^3+2^3+3^3+...+n^3=k^2(k+1)^2/4

Induksjonssteget, også her jeg mister styringen: vise at det gjelder for n=k+1

k^2(k+1)^2/4 + (k+1)^3 = (k+1)^2(k+2)^2/4 Her kan jeg få leddene på vestre side på samme brøkstrek.

k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3/4 =(k+1)^2(k+2)^2/4 Her klarer jeg ikke på komme meg videre.

Induksjonshypotese: Vi antar at $$1^3 + \dots k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4},$$ for en $k\geq 1$. Vi ønsker å vise at $$1^3 + \dots (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}.$$ Nå, $$\begin{align*} 1^3 + \dots + (k+1)^3 & = \left[1^3 + \dots + k^3\right] + (k+1)^3 \\ & = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ (fra induksjonshypotesen)} \\ & = \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} \\ & = \frac{(k+1)^2\left[k^2 + 4(k+1)\right]}{4} \\ & = \frac{(k+1)\left[k^2+4k + 4\right]}{4} \\ & = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}, \end{align*}$$ så påstanden er bevist ved induksjon for alle $k\geq 1$.

[Skanin]

[tex]P(n)=1^3+2^3+3^3 ... n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]

Viser for N=1
[tex]1=\frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{4}{4}=1[/tex] [tex]OK![/tex]
ntar det gjelder for n+1:
Har vist at
[tex]1^3+2^3+3^3+...+n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]

Får derfor:
[tex]\frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 = \frac{(n+1)^2(n+1+1)^2}{4}[/tex]

[tex]\frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{4(n+1)^3}{4} = \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/tex]

Setter på felles brøkstrek og ganger ut teller på V.S og H.S:

[tex]\frac{n^2(n^2+2n+1)+4(n^3+3n^2+3n+1)}{4}=\frac{(n^2+2n+1)(n^2+4n+4)}{4}[/tex]

[tex]\frac{n^4+2n^3+n^2+4n^3+12n^2+12n+4}{4}=\frac{n^4+4n^3+4n^2+2n^3+8n^2+8n+n^2+4n+4}{4}[/tex]

Trekker sammen og får:
[tex]\frac{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}=\frac{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}[/tex]
V.S = H.S, [tex]Q.E.D[/tex]