matematikk.net

bevis at

[tex]2^n>2n[/tex] er for alle naturlige tall [tex]n≥3[/tex]


trinn 1 n=3

[tex]2^{3}>2*3\rightarrow 8>6[/tex]


trinn 2= antar at det stemmer for n=t

[tex]2^t>2t[/tex]


skal vise at det stemmer for

[tex]2^{t+1}>2(t+1)[/tex]

[tex]2^t>2t[/tex]

[tex]2^t*2>2t*2[/tex]

[tex]2^{t+1}>2t+2t[/tex]

her kommer problemet hvordan skjer denne overgangen:

[tex]2^{t+1}>2t+2[/tex] fasiten skriver at [tex]2<2t[/tex]

men hva skjer her?? hvorfor blir [tex]2t+2t=2t+2[/tex]



[tex]2^{t+1}>2(t+1)[/tex]

noen?

Gjest skrev:noen?

? haster

[tex]2^{t+1}>2(t+1)[/tex]
[tex]2^{t}*2>2t+2[/tex]
[tex]2^{t}+2^{t}>2t+2[/tex]

siden 2t>2 og [tex]2^{t}>2t[/tex] er den siste riktig

forstår ikke denne overgangen


[tex]2^{t+1}>2t+2t\Rightarrow 2^{t+1}>2t+2[/tex]

Basistilfelle: $n = 3$:
$VS = 2^3 = 8 > 6 = 2\cdot 3 = HS \text{ }\text{ }\checkmark$

Induksjon: Anta at påstanden gjelder (altså at $2^n > 2n$) for en $n \geq 3$. Da får vi at $$2^{n+1} = 2^n\cdot 2 >2n\cdot 2 = 4n = 2n + 2n > 2n + 2 = 2(n+1),$$ så påstanden er bevist for alle $n\geq 3$ ved induksjon.