matematikk.net

oppgave på eksamen som jeg ikke helt skjønner


Brøken Bn er definert ved at telleren er summen av de n første oddetallene, mens nevneren
er summen av de n neste oddetallene.

[tex]B_2=\frac{1+3}{5+7},B_3=\frac{1+3+5}{7+9+11}.....B_n[/tex]

a) skal finne summen av disse, og jeg ser at dette blir [tex]\frac{1}{3}[/tex]

b)

skal vise at summen er[tex]S_n=n^2[/tex]

det er jo artimetisk rekke med differanse lik 2, og summen er da.

[tex]S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2[/tex]


c) Her kommer problemet

skal vise at [tex]B_n=\frac{S_n}{S_{2n}-S_n}[/tex] og regne ut brøken

ser at telleren er summen av de n første oddetallene så vi har at [tex]B_n=\frac{teller}{nevner}=\frac{S_n}{nevner}[/tex]

problemet er å uttrykke nevneren, jeg er fult klar over at nevneren representerer de n neste odetallene

og derfor tenkje jeg noe i denne duren [tex]a_1+a_2+...a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+n}=a_{2n}[/tex]

men får det ikke til å stemme, jeg forstår at uttrykket under nevneren er riktig, men skjønner ikke helt hvordan de kommer frem til det rent algebraisk?

jeg vet også at summen blir [tex]B_n=\frac{S_n}{S_{2n}-S_n}=\frac{n^2}{(2n)^2-n^2}=\frac{1}{3}[/tex]

men kan noen hjelpe meg??

$B_3 = \frac{1 + 3 + 5}{7 + 9 + 11} = \frac {9}{27} = \frac{9}{36 -9} = \frac {3^2}{(2*3)^2 - 3^2}$

Ser fort at det også gjelder for n = 1,2.

Fysikkmann97 skrev:$B_3 = \frac{1 + 3 + 5}{7 + 9 + 11} = \frac {9}{27} = \frac{9}{36 -9} = \frac {3^2}{(2*3)^2 - 3^2}$

Ser fort at det også gjelder for n = 1,2.

jeg er på jakt etter en mer generell utledning, noen algebraiske maniupulasjoner her og der,,,

Gjest skrev:

Fysikkmann97 skrev:$B_3 = \frac{1 + 3 + 5}{7 + 9 + 11} = \frac {9}{27} = \frac{9}{36 -9} = \frac {3^2}{(2*3)^2 - 3^2}$

Ser fort at det også gjelder for n = 1,2.

jeg er på jakt etter en mer generell utledning, noen algebraiske maniupulasjoner her og der,,,

ingen?

noen?

Dersom vi lar telleren være gitt ved [tex]S_n=a_1+a_2+...+a_n[/tex], altså summen av de n første oddetallene, vil nevneren være gitt ved [tex]a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n}[/tex]. Dette uttrykket kan enkelt manipuleres ved å legge til og trekke fra [tex]S_n[/tex], slik at nevneren blir [tex]a_1+a_2+...+a_n+a_{n+1}+...+a_{2n}-(a_1+a_2+...+a_n)=S_{2n}-S_n[/tex]. Av dette følger det at [tex]B_n=\frac{S_n}{S_{2n}-S_n}[/tex]

Skogmus skrev:Dersom vi lar telleren være gitt ved [tex]S_n=a_1+a_2+...+a_n[/tex], altså summen av de n første oddetallene, vil nevneren være gitt ved [tex]a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n}[/tex]. Dette uttrykket kan enkelt manipuleres ved å legge til og trekke fra [tex]S_n[/tex], slik at nevneren blir [tex]a_1+a_2+...+a_n+a_{n+1}+...+a_{2n}-(a_1+a_2+...+a_n)=S_{2n}-S_n[/tex]. Av dette følger det at [tex]B_n=\frac{S_n}{S_{2n}-S_n}[/tex]

¨

hvorfor er


[tex]a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+...+a_{2n}=a_1+a_2+...+a_n+a_{n+1}-(a_1+a_2+...+a_n)[/tex]

skjønner ikke helt hvorfor man skal trekke fra [tex]S_n[/tex]

og når det står "forklar"

skal man utlede, eller bare forklare at det stemmer?

Tror du har mistet litt av uttrykket. Det jeg sier er at [tex]a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n}-(a_1+a_2+...+a_n)=a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n}[/tex], noe som må være sant fordi [tex]S_n+a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n}-S_n=a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n}[/tex]. Er jo nevneren du ønsker å uttrykke, og ved å først legge til [tex]S_n[/tex] og så trekke fra [tex]S_n[/tex], vil ikke uttrykket endres.

Skogmus skrev:Tror du har mistet litt av uttrykket. Det jeg sier er at [tex]a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n}-(a_1+a_2+...+a_n)=a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n}[/tex], noe som må være sant fordi [tex]S_n+a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n}-S_n=a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n}[/tex]. Er jo nevneren du ønsker å uttrykke, og ved å først legge til [tex]S_n[/tex] og så trekke fra [tex]S_n[/tex], vil ikke uttrykket endres.

hvis jeg forstår d nå:

du legger til [tex]S_n+a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+n}-S_n=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+n}[/tex]

men hvorfor blir ikke nevneren da [tex]S_n+S_{2n}-S_{n}=S_{2n}[/tex]
?

[tex]S_{2n}[/tex] uttrykker summen av de 2n første leddene, altså [tex]a_1+a_2+...+a_{2n}[/tex]. [tex]S_n[/tex] er dermed allerede en del av [tex]S_{2n}[/tex]. Det du ønsker at nevneren din uttrykker, er jo nettopp summen av de 2n første oddetallene minus summen av de n første oddetallene (som skal være i nevneren).