matematikk.net

Etter interesse fra samtlige i forumet (inkludert meg) tenkte jeg at vi kunne dele løsninger (fullstendige og mindre fullstendige) for eksamen R1 del 2 oppgave 4d.
Her er min løsning som jeg leverte inn:

Om vi setter $a,b$ inn i formelen gitt i b), vet vi at alle potensielle tangenter må og vil oppfylle:

\[\dfrac{f(x)-b}{x-a}=f'(x).\]

Med algebra, har vi:

\[f(x)-xf'(x)+af'(x)-b=0.\]

Venstre side gjenkjenner vi som en tredjegradspolynom, som ved sitt meste kan ha $3$ reele røtter. Det gir oss en øvre grense på $3$ tangenter gjennom et punkt. Vi observerer at det er en maksima ettersom punktet $(4,3)$ hadde tre unike tangenter gjennom den. Og vi er ferdige.

I etterkant innser jeg at argumentet mitt ikke var nok, ettersom likningen ville bryte ned hvis punktet $P$ lå på $f$, siden da vil man "få en tangent gratis" som ikke var inkludert i likningen. (Dette er selvsagt ikke helt krise siden man kan bruke to linjer med tekst til å forklare hvorfor alt går fint til slutt, men likevel).

Hvor mye forventer de på denne deloppgaven egentlig?

EDIT: norsk

Man kunne argumentere for at siden dette er snakk om en rett linje som skal tangere f(x) i punktet x og i tillegg passere gjennom punkt (a,b) så må stigningstallet til tangenten som da blir Delta(Y)/Delta(X) = (f(x)-yo)/(x-xo) må være det samme som den momentane veksten til f(x) i punktet x altså være lik f'(x). Jeg tok også eksamen i dag, og dette var det jeg svarte.

ingeniøren123 skrev:Man kunne argumentere for at siden dette er snakk om en rett linje som skal tangere f(x) i punktet x og i tillegg passere gjennom punkt (a,b) så må stigningstallet til tangenten som da blir Delta(Y)/Delta(X) = (f(x)-yo)/(x-xo) må være det samme som den momentane veksten til f(x) i punktet x altså være lik f'(x). Jeg tok også eksamen i dag, og dette var det jeg svarte.

Whups, jeg mente oppgave 4d

Jeg lagde ett likningsett med
F(x)-b/(x-a)=f'(x) og f(a)=b som jeg løste i CAS
Fikk da to løsninger for x i CAS, og skrev at av dette fant jeg to tangenter.
Ble det helt feil?
Det så helt riktig ut der og da men nå når jeg skriver det ned på nytt ser jeg at det muligens ble feil..!

Ejo skrev:Jeg lagde ett likningsett med
F(x)-b/(x-a)=f'(x) og f(a)=b som jeg løste i CAS
Fikk da to løsninger for x i CAS, og skrev at av dette fant jeg to tangenter.
Ble det helt feil?
Det så helt riktig ut der og da men nå når jeg skriver det ned på nytt ser jeg at det muligens ble feil..!

I CAS trengte du kun å definere to funksjoner. f(x) og f'(x) og dermed be den løse likningen : (f(x)-3)/(x-4) = f'(x). Da ville du fått tre x verdier. Disse kunne du da brukt i den generelle likningen for tangent => Y = f*(x0) *(x-x0)+f(x0) . Dette gjentok du da for alle tre løsninger for x. Og da hadde du funnet tre skjæringer og tre tangenter. hvor alle tangerer f(x) og går gjennom A(3,4).

Med en gang jeg setter inn a og b, så gir ikke geogebra noen svar for meg, hvis noen hadde løst den på geo så hadde jeg satt stor pris for å se et utklipp!

Stis skrev:Med en gang jeg setter inn a og b, så gir ikke geogebra noen svar for meg, hvis noen hadde løst den på geo så hadde jeg satt stor pris for å se et utklipp!

La den allerede ut da, men kan hende den ikke kommer opp. Men dette er linken :

http://i66.tinypic.com/2lc9379.png