Eksamen R1 del 2 oppgave 4d
Lagt inn: 19/05-2017 18:19
Etter interesse fra samtlige i forumet (inkludert meg) tenkte jeg at vi kunne dele løsninger (fullstendige og mindre fullstendige) for eksamen R1 del 2 oppgave 4d.
Her er min løsning som jeg leverte inn:
Om vi setter $a,b$ inn i formelen gitt i b), vet vi at alle potensielle tangenter må og vil oppfylle:
\[\dfrac{f(x)-b}{x-a}=f'(x).\]
Med algebra, har vi:
\[f(x)-xf'(x)+af'(x)-b=0.\]
Venstre side gjenkjenner vi som en tredjegradspolynom, som ved sitt meste kan ha $3$ reele røtter. Det gir oss en øvre grense på $3$ tangenter gjennom et punkt. Vi observerer at det er en maksima ettersom punktet $(4,3)$ hadde tre unike tangenter gjennom den. Og vi er ferdige.
I etterkant innser jeg at argumentet mitt ikke var nok, ettersom likningen ville bryte ned hvis punktet $P$ lå på $f$, siden da vil man "få en tangent gratis" som ikke var inkludert i likningen. (Dette er selvsagt ikke helt krise siden man kan bruke to linjer med tekst til å forklare hvorfor alt går fint til slutt, men likevel).
Hvor mye forventer de på denne deloppgaven egentlig?
EDIT: norsk
Her er min løsning som jeg leverte inn:
Om vi setter $a,b$ inn i formelen gitt i b), vet vi at alle potensielle tangenter må og vil oppfylle:
\[\dfrac{f(x)-b}{x-a}=f'(x).\]
Med algebra, har vi:
\[f(x)-xf'(x)+af'(x)-b=0.\]
Venstre side gjenkjenner vi som en tredjegradspolynom, som ved sitt meste kan ha $3$ reele røtter. Det gir oss en øvre grense på $3$ tangenter gjennom et punkt. Vi observerer at det er en maksima ettersom punktet $(4,3)$ hadde tre unike tangenter gjennom den. Og vi er ferdige.
I etterkant innser jeg at argumentet mitt ikke var nok, ettersom likningen ville bryte ned hvis punktet $P$ lå på $f$, siden da vil man "få en tangent gratis" som ikke var inkludert i likningen. (Dette er selvsagt ikke helt krise siden man kan bruke to linjer med tekst til å forklare hvorfor alt går fint til slutt, men likevel).
Hvor mye forventer de på denne deloppgaven egentlig?
EDIT: norsk